Интегралы1

Пример. Вычислить с помощью второй подстановки

Эйлера (самостоятельно)
III) Третья подстановка Эйлера применяется в тех случаях, когда квадратный трёхчлен ax² + bx + c имеет различные вещественные корни:α и β.
Тогда он разлагается в произведение ax² + bx + c = а(x – α)(x – β).

В этом случае применяется подстановка ,

м ожно и
Возведём в квадрат a² + bx + c = t²(x – α)²  a(x – α)(x – β) = t²(x – α)²  ax – βa = xt² – αt².

• 
  рациональная функция.
  

Т. к. x рациональная функция, то и dx тоже рациональная функция от t. Но тогда интеграл (1) действительно преобразуется в интеграл от р ациональной функции по переменной t.

Вычисляя этот интеграл и заменяя в результате t через x,
вычислим интеграл I в конечном виде.

Пример. 1 и 2 подстановки не применимы
– 3 + 4x – x² = – 1(x – 3)(x – 1)

Теперь имеем:

Замечание. Можно показать, что I) и III) подстановки Эйлера одних достаточно, чтобы рационализировать подинтегральное выражение I в любых случаях. В самом деле, если ax² + bx + c имеет вещественные корни, то применима вторая подстановка. Если действительных корней нет, то D = b² – 4ac < 0. Преобразуем трёхчлен так:


a
x² + bx + c

Видно, что знак трёхчлена совпадает со знаком a.

Если a > 0, то применим I) подстановку.
Е сли же a < 0, то ax² + bx + c < 0 и поэтому вообще не существует.