Интегралы1

Таким образом, I и II подстановки Эйлера позволяют свести указанный интеграл в любом случае к интегралу от рациональной функции, а значит и вычислить его в конечном виде.
Теоритическая ценность подстановок Эйлера очевидна. Однако на практике пользование ими приводит к громоздким вычислениям. Поэтому стараются по возможности в более простых интегралах применять и другие методы.

Так, например, интегралы вида:

удобнее вычислять выделением полного квадрата и

последующей заменой переменной.


Пример.

§7. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и показательную функции.

Вычисление таких интегралов, содержащих тригонометрические функции, похоже на вычисление интегралов от иррациональных функций. А именно, стараются найти рационализирующие подстановки, сводящие данные интегралы к интегралам от рациональных функций, к табличным, или легко вычисляемым другим интегралам.

1. 
   Интегрирование выражений вида R(sin x, cos x)
   

Сразу заметим, что функция R(sin x, cos x) может содержать и tg x, ctg x, sec x, cosec x, т. к. они рационально выражаются через sin x и cos x.
Интегралы _R(sin x, cos x) dx всегда вычисляются в конечном виде через элементарные.
Универсальной рационализируещей подстановкой здесь является
–  < x < .

В самом деле

x = 2 arctg t, Тогда _ R(sin x, cos x) dx = –

интеграл от рациональной функции по t.

Особенно употребительна универсальная тригонометрическая подстановка в

интегралах вида

Пример. Полагают ,




x = 2arctg t ,

Т огда

Подстановка является универсальной для интегралов _ R(sin x, cos x)dx, но практическое применение её в ряде случаев приводит к громоздким вычислениям. Поэтому в некоторых частных случаях интегрирование проводят с помощью более простых подстановок.