Интегралы1

Интегральное исчесление функций одной переменной.
Неопределённый интеграл.
§1. Первообразная и неопределённый интеграл.
Как известно, основной задачей дифференциального исчесления является нахождение по известной функции F(x) её производной, т. е. функции f(x) = F`(x).
Основная задача, которую мы будем рассматривать теперь, обратная: по данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная от которой равна f(x), т. е. F`(x) = f(x).
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке X , если для всех x X выполняется равенство F`(x) = f(x).
Примеры. 1) f(x) = sin x. Непосредственной проверкой согласно определению находим первообразную F(x) = - cos x на X = ( - , + ). В самом деле, F`(x) = (- cos x)` = sin x = f(x).
2) f(x) = x<sup>2</sup>. F(x) = x<sup>3</sup>/3, т.к. F`(x) = (x³/3)` = x<sup>2</sup> = f(x) /x ( - , + )/
Легко заметить, что если функция f(x) имеет первообразную на X , то она не единственная. Так, в последнем примере первообразными для f(x) = x<sup>2</sup> на ( - ,+ ) будут и функции F(x) = x<sup>3</sup>/3 + 1, F(x) = x<sup>3</sup>/3 – 10 или более обшее выражение
F(x) = x<sup>3</sup>/3 + С /где С есть, так называемая, произвольная постоянная/. Действительно
(x<sup>3</sup>/3 + С)` = x².
Это не случайно. Справедлива следующая теорема.
Теорема. Если F₁(x) и F₂(x) есть две первообразные для функции f(x) на одном и том же промежутке X , то они отличаются на постоянную.
Доказательство. По определению 1: F₁`(x) = f(x) для любого x  X