Интегралы1

F₂`(x) = f(x)
Рассмотрим функцию (x) = F₁(x) – F₂(x).

Тогда для любого x  X `(x) = F<sub>1</sub>`(x) – F₂`(x) = f(x) – f(x) = 0. Значит, `(x)  0 на X, что и означает (x) = C = Const на X. Итак, F₁(x) – F₂(x) = С. Что и требовалось доказать.

Заключение. Если мы знаем какую-нибудь первообразную F(x) для функции f(x) на промежутке X, то все возможные первообразные для этой функции f(x) на этом промежутке X содержатся в выражении F(x) + C /где C – произвольная постоянная/.
Определение 2. Выражение F(x) + C, где F(x) некоторая первообразная для функции f(x), С – произвольная постоянная, называют неопределённым интегралом от функции f(x) и символически обозначают _f(x)dx.

Таким образом, согласно определению _f(x)dx = F(x) +C /если F`(x) = f(x)/

При этом f(x) называют подинтегральной функцией, x – переменной интегрирования, f(x)dx – подинтегральным выражением, знак ”_”- символ интегрирования. Функция f(x), для которой неопределённый интеграл на данном промежутке существует, называется интегрируемой на этом промежутке. Т. к. неопределённый интеграл представляет собой множество функций y = F(x) + C, то геометрически он может быть изображён как семейство кривых (интегральных кривых), параллельных кривой y = F(x) и смещённых вдоль оси Oy на С едениц.
(рис.1)
С ледует заметить, что имеется много функций, которые не имеют первообразных (и, как следствие, не имеют неопределённого интеграла). Однако, с помощью понятия определённого интеграла позже будет доказано, что всякая функция f(x) непрерывная на промежутке X имеет на этом промежутке первообразную /а, значит, она интегрируема на нём/
Из определения 2 следуют также свойства неопределённого интеграла.