Интегралы1

I) Первая подстановка Эйлера применяется, если a > 0. Тогда полагают

(можно и ).

Возведём это равенство в квадрат: ax² + bx + c

• 
  рациональное выражение от t.
  

Но тогда и dx будет рационально выражаться через t (самим найти dx).

Т. к. x, , dx рационально выражается через t, то интеграл (1) действительно сводится к интегралу от рациональной функции по t. Интегрируя и

заменяя в результате t через x , вычисляем интеграл.

Пример. a = 1 > 0. D = b² – 4ac = 1 – 4 = – 3 < 0

– действительных корней нет.

Итак – интегрируем как рациональною дробь и в результате

заменяем (самостоятельно).

II) Вторая подстановка Эйлера применяется, если c > 0. Тогда полагают

(можно было бы )

Возводя равенство в квадрат, уничтожая с в обеих частях, сокращая на x, получим уравнение первой степени относительно x. Из чего найдём x, как рациональную функцию от t. Тогда и dx есть рациональная функция от t, а потому и исходный интеграл I рационализируется.
Практически случай II легко сводится к случаю I, если a < 0, c > 0. Достаточно использовать замену переменной x = 1/z. Тогда в новом подинтегральном выражении c станет играть роль а, и можно применить I подстановку Эйлера.
Таким образом, пользование второй подстановкой Эйлера всегда можно избежать, хотя она бывает и удобна.