Ikkinchi tartibli egri chiziqlar

Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar

1. tenglama bilan berilgan giperbolaning barcha xarakteristikalarini toping. Absissasi 8 ga teng va ordinatasi musbat bo’lgan nuqtaning fokal radiuslarini aniqlang.

Yechish: va lardan giperbolaning yarim o’qlari va larni topamiz.

bo’lib, undan ni topamiz. Demak, giperbolaning fokuslari va nuqtalarda joylashadi.

Berilgan giperbolaning asimptotalari

.

Eksentrisiteti ga teng va direktrisalarining tenglamalari bo’ladi.

Giperboladagi nuqtaning fokal radiuslari .

2. Tenglamasi bo’lgan giperbolaning eksentrisi- teti va asimptotalari topilsin.

Yechish: Berilgan tenglamani kanonik ko’rinishga keltiramiz: , , . Bundan va bo’lib, ulardan va lar kelib chiqadi. Bularni eksentrisitetni aniqlash va asimptotalar tenglamasini tuzish formulalariga qo’yamiz. Demak,

, x.

3. giperbola berilgan. nuqta giperbolaning biror asimtoasida yotish yoki yotmasligini aniqlang.

Yechish: Berilgan tenglamadan va larni topamiz. Demak, asimptotalarning tenglamalari

.

Shartga ko’ra, nuqta birinchi koordinata burchagida yotgani uchun, bu nuqta faqat tenglama bilan aniqlangan asimptotaga tegishli bo’lishi mumkin. Bu tenglamadagi va larning o’rniga nuqtaning koordinatalarini qo’yib, yoki ayniyatni hosil qilamiz. Demak, nuqta ko’rsatilgan asimptotada yotadi.

4. Uchlari ellipsning fokuslarida, fokuslari esa shu ellips- ning uchlarida bo’lgan giperbolaning tenglamasi tuzilsin.

Yechish: Giperbola tenglamasini tuzish uchun uning yarim o’qlari va larni topish kerak. Ellipsning tenglamasidan va larni ulardan esa va larni topamiz. Bundan tashqari munosabatdan ni topamiz. bo’lganligi uchun ellipsning fokal o’qi o’qi bilan ustma-ust tushadi. Bundan esa giperbolaning haqiqiy o’qi ham o’qi bilan ustma-ust tushishi kelib chiqadi. Giperbolaning izlnayotgan tenglamasi

ko’rinishda bo’ladi.

Masalaning shartiga asosan, va Giperbola uchun bo’lganligidan yoki ni aniqlaymiz. Shunday qilib, giperbolaning izlanayotgan tenglamasi

bo’ladi.

5. Giperbolaning fokuslari koordinata boshiga nisbatan simmetrik va o’qida yotadi. Fokuslar orasidagi masofa 8 ga teng. Giperbolaning asimptotalaridan biri o’qi bilan li burchak hosil qiladi. Shu giperbolaning tenglamasi tuzilsin.

Yechish: Masalaning shartiga asosan bo’lib, undan . Giperbolada bo’lganligi uchun bo’ladi. Masalaning shartni qanoatlantiruvchi asimptota tenglamasi bo’lib, bu yerda . Demak, biz quyidagi tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:

Uni yechib, va larni topamiz. Shunday qilib giperbolaning izlanayotgan tenglamasi

dan iborat bo’ladi.