I боб. ҲОдиса эҳтимоли тушунчаси ва уни классик, гeомeтрик, аксимаоматик ҳамда статистик таьрифлари

1.9-мисол. (Учрашув ҳақида)
Икки дўст соат 9 билан 10 орасида учрашишга келишишди. Биринчи келган киши дўстини 15 дақиқа давомида кутишини, агар шу вақт мобайнида дўсти келмаса у кетиши мумкинлигини шартлашиб олишди. Агар улар соат 9 билан 10 орасида ихтиёрий моментда келишлари мумкин бўлса, бу икки дўстнинг учрашиши эҳтимолини топинг.
Б
15

60

A
иринчи киши келган моментни х, иккинчисиникини й бўлсин: , У ҳолда уларнинг учрашишлари учун тенгсизлик бажарилиши керак.
Д

емак, , . х ва й ларни Декарт координаталар текислигида тасвирлаймиз(8-расм).
У ҳолда
.

8-расм.

1.6. Эҳтимолликнинг аксиоматик таърифи

Еҳтимоллар назариясини аксиоматик қуришда А.Н. Колмогоров томонидан 30-йилларнинг бошларида асос солинган.

- бирор тажрибанинг барча элементар ҳодисалар тўплами, С-ҳодисалар алгебраси бўлсин.

• 
  С ҳодисалар алгебрасида аниқланган, ҳақиқий қийматлар қабул қилувчи фуксия эҳтимоллик дейилади, агар у учун қуйидаги аксиомалар ўринли бўлса:
  

А1: иҳтиёрий ҳодисанинг эҳтимоллиги манфий эмас (номанфийлик аксиомаси);
А2: муқаррар ҳодисанинг эҳтимоллиги бирга тенг (нормаллаштириш аксиомаси);
А3: жуфт-жуфти билан биргаликда бўлмаган ҳодисалар йиғиндисининг эҳтимоллиги шу ҳодисалар эҳтимоллари йиғиндисига тенг, яъни агар бўлса, у ҳолда

(аддитивлик аксиомаси);
учлик эҳтимоллик фазоси дейилади, бу ерда -елементар ҳодисалар фазоси, С-ҳодисалар алгебраси, П- А1-А3 аксиомаларни қаноатлантирувчи саноқли функсия.

1.7. Еҳтимолликнинг статистик таърифи

ҳодиса н та боғлиқсиз тажрибаларда н_А марта рўй берсин. н_А сон ҳодисанинг частотаси, муносабат эса ҳодисанинг нисбий частотаси дейилади.
Нисбий частотанинг статистик турғунлик хоссаси деб аталувчи хоссаси мавжуд, яъни тажрибалар сони ошиши билан нисбий частотаси маълум қонуниятга эга бўлади ва бирор сон атрофида тебраниб туради.
Мисол сифатида танга ташлаш тажрибасини олайлик. Танга А={Герб} томони билан тушиши ҳодисасини қарайлик. Бюффон ва К.Пирсонлар томонидан ўтказилган тажрибалар натижаси қуйидаги жадвалда келтирилган:

Тажриба ўтказувчи	Тажрибалар сони, н	Тушган герблар сони, нА	Нисбий частота, нА/н
Бюффон	4040	2048	0.5080
К.Пирсон	12000	6019	0.5016
К.Пирсон	24000	12012	0.5005

Жадвалдан кўринадики, н ортгани сари н_А/н нисбий частота 0.5 га яқинлашар экан.

• 
  Агар тажрибалар сони этарлича кўп бўлса ва шу тажрибаларда бирор ҳодисанинг нисбий частотаси бирор ўзгармас сон атрофида тебранса, бу сонга ҳодисанинг статистик эҳтимоллиги дейилади.
  

ҳодисанинг эҳтимоллиги символ билан белгиланади. Демак,
ёки етарлича катта н лар учун .
Статистик эҳтимолликнинг камчилиги шундан иборатки, бу ерда статистик эҳтимоллик ягона эмас. Масалан, танга ташлаш тажрибасида эҳтимоллик сифатида нафақат 0.5, балки 0.49 ёки 0.51 ни ҳам олишимиз мумкин. Эҳтимолликни аниқ ҳисоблаш учун катта сондаги тажрибалар ўтказишни талаб қилади, бу эса амалиётда кўп вақт ва харажатларни талаб қилади.
Статистик эҳтимоллик қуйидаги хоссаларга эга:

1. 
   ;
   
2. 
   ;
   
3. 
   ;
   
4. 
   бўлса, у ҳолда ;
   

Исботи. 1) Иҳтиёрий ҳодисанинг частотаси учун . Этарлича катта н лар учун бўлгани учун бўлади.
2) Мумкин бўлмаган ҳодиса учун н_А=0.
3) Муқаррар ҳодисанинг частотаси н_А=н.
4) Агар бўлса, у ҳолда ва
. ■

И. Қайтарилмайдиган танлашлар схемаси

• 
  Гуруҳлашлар сони: н та элементдан м ( )тадан гуруҳлашлар сони қуйидаги формула орқали ҳисобланади:
  

(1.6.2)


сонлар Нютон биноми формуласининг коеффисиентларидир:


.

• 
  Ўринлаштиришлар сони: н та элементдан м ( ) тадан ўринлаштиришлар сони қуйидаги формула орқали ҳисобланади:
  

. (1.6.3)

• 
  Ўрин алмаштиришлар сони: н та элементдан н тадан ўринлаштириш ўрин алмаштириш дейилади ва у қуйидагича ҳисобланади:
  

. (1.6.4)
Ўрин алмаштириш ўринлаштиришнинг хусусий ҳолидир, чунки агар (1.6.3.)да н=м бўлса бўлади.