I боб. ҲОдиса эҳтимоли тушунчаси ва уни классик, гeомeтрик, аксимаоматик ҳамда статистик таьрифлари

I БОБ. ҲОДИСА ЭҲТИМОЛИ ТУШУНЧАСИ ВА УНИ КЛАССИК, ГEОМEТРИК, АКСИМАОМАТИК ҲАМДА СТАТИСТИК ТАЬРИФЛАРИ
1.1.Эҳтимоллар назарияси предмети.
Еҳтимоллар назарияси “тасодифий тажрибалар”, яъни натижасини олдиндан айтиб бўлмайдиган тажрибалардаги қонуниятлатни ўрганувчи математик фандир. Бунда шундай тажрибалар қараладики, уларни ўзгармас (яъни, бир хил) шартлар комплексида ҳеч бўлмаганда назарий равишда ихтиёрий сонда такрорлаш мумкин, деб ҳисобланади. Бундай тажрибалар ҳар бирининг натижаси тасодифий ҳодиса рўй беришидан иборатдир. Инсоният фаолиятининг деярли ҳамма соҳаларида шундай ҳолатлар мавжудки, у ёки бу тажрибаларни бир хил шароитда кўп матра такрорлаш мумкин бўлади. Эҳтимоллар назариясини синовдан-синовга ўтишида натижалари турлича бўлган тажрибалар қизиқтиради. Бирор тажрибада рўй бериш ёки бермаслигини олдиндан айтиб бўлмайдиган ҳодисалар тасодифий ҳодисалар дейилади. Масалан, танга ташлаш тажрибасида ҳар бир ташлашга икки тасодифий ҳодиса мос келади: танганинг герб томони тушиши ёки танганинг рақам томони тушиши. Албатта, бу тажрибани бир марта такрорлашда шу икки тасодифий ҳодисалардан фақат биттасигина рўй беради. Тасодифий ҳодисаларни биз табиатда, жамиатда, илмий тажрибаларда, спорт ва қимор ўйинларида кузатишимиз мумкин. Умумлаштириб айтиш мумкинки, тасодифият элементларисиз ривожланишни тасаввур қилиш қийиндир. Тасодифиятсиз умуман ҳаётнинг ва биологик турларнинг юзага келишини, инсоният тариҳини, инсонларнинг ижодий фаолиятини, сотсиал-иқтисодий тизимларнинг ривожланишини тасаввур этиб бўлмайди. Эҳтимоллар назарияси эса айнан мана шундай тасодифий боғлиқликларнинг математик моделини тузиш билан шуғилланади. Тасодифият инсониятни доимо қизиқтириб келгандир. Шу сабабли эҳтимоллар назарияси бошқа математик фанлар каби амалиёт талабларига мос равишда ривожланган. Эҳтимоллар назарияси бошқа математик фанлардан фарқли ўлароқ нисбатан қисқа, аммо ўта шижоатлик ривожланиш тарихига эга. Энди қисқача тарихий маълумотларни келтирамиз. Оммавий тасодифий ҳодисаларга мос масалаларни систематик равишда ўрганиш ва уларга мос математик аппаратнинг юзага келиши ХВИИ асрга тўғри келади. ХВИИ аср бошида, машҳур физик Галилей физик ўлчашлардаги хатоликларни тасодифий деб ҳисоблаб, уларни илмий тадқиқот қилишга уринган. Шу даврларда касалланиш, ўлиш, бахтсиз ҳодисалар статистикаси ва шу каби оммавий тасодифий ҳодисалардаги қонуниятларни таҳлил қилишга асосланган суғурталанишнинг умумий назариясини яратишга ҳам уринишлар бўлган. Аммо, эҳтимоллар назарияси математик илм сифатида мураккаб тасодифий жараёнларнинг ўрганишдан эмас, балки энг содда қимор ўйинларини таҳлил қилиш натижасида юзага кела бошлаган. Шу боисдан эҳтимоллар назариясининг пайдо бўлиши ХВИИ аср иккинчи ярмига мос келади ва у Паскал (1623-1662), Ферма (1601-1665) ва Гюйгенс (1629-1695) каби олимларнинг қимор ўйинларини назариясидаги тадқиқотлари билан боғлиқдир. Эҳтимоллар назарияси ривожидаги катта қадам Яков Бернулли (1654-1705) илмий изланишлари билан боғлиқдир. Унга, эҳтимоллар назариясининг энг муҳим қонунияти, деб ҳисобланувчи “катта сонлар қонуни” тегишлидир. Эҳтимоллар назарияси ривожидаги яна бир муҳим қадам де Муавр (1667-1754) номи билан боғлиқдир. Бу олим томонидан нормал қонун (ёки нормал тақсимот) деб аталувчи муҳим қонуният мавжудлиги содда ҳолда асосланиб берилди. Кейинчалик, маълум бўлдики, бу қонуният ҳам, эҳтимоллар назариясида муҳим ролъ ўйнар экан. Бу қонуният мавжудлигини асословчи теоремалар “марказий лимит теоремалар” деб аталади. Эҳтимоллар назарияси ривожланишида катта ҳисса машҳур математик Лапласга (1749-1827) ҳам тегишлидир. У биринчи бўлиб эҳтимоллар назарияси асосларини қатъий ва систематик равишда таърифлади, марказий лимит теоремасининг бир формасини исботлади (Муавр-Лаплас теоремаси) ва эҳтимоллар назариясининг бир неча тадбиқларини келтирди. Эҳтимоллар назарияси ривожидаги этарлича даражада олдинга силжиш Гаусс (1777-1855) номи билан боғлиқдир. У нормал қонуниятга янада умумий асос берди ва тажрибадан олинган сонли маълумотларни қайта ишлашнинг муҳим усули – “кичик квадратлар усули”ни яратди. Пуассон (1781-1840) катта сонлар қонунини умумлаштирди ва эҳтимоллар назариясини ўқ узиш масалаларига қўллади. Унинг номи билан эҳтимоллар назариясида катта ролъ ўйновчи тақсимот қонуни номлангандир. ХВИИ ва ХИХ асрлар учун эҳтимоллар назариясининг кескин ривожланиши ва у билан ҳар томонлама қизиқиш характерлидир. Кейинчалик эҳтимоллар назарияси ривожига Россия олимлари В.Я. Буняковский (1804-1889), П.Л. Чебишев (1821-1894), А.А. Марков (1856-1922), А.М. Ляпунов (1857-1918), А.Я. Хинчин (1894-1959), В.И. Романовский (1879-1954), А.Н. Колмогоров (1903-1987) ва уларнинг шогирдлари бебаҳо ҳисса қўшдилар. Ўзбекистонда бутун дунёга таниқли Саримсоков (1915-1995) ва С.Х. Сирожиддинов (1920-1988) ларнинг муҳим ролларини алоҳида таъкидлаб ўтиш жоиздир.