O’zgaruvchilar

Noravshan to’plam tushunchasi. Aytaylik, U-qandaydir obyektlar to’plami (u bilan belgilanadigan elementlar, nuqtalar va A∶ U→[0; 1]) bo’lsin. U to’plamda A noravshan (noaniq, xira) to’plam deb tartiblangan juftlilklar majmuasi
ܷ ∈ ݑ ^)};ݑ_஺⁽ߤ ,ݑ^{ܣ
tushuniladi. Bu erda A(u)-u elementning A ga mansubliligini (tegishliligini) bildiradi,
ܣ, ߤܽ_஺: ܷ → [0,1] - U to’plamda M fazoga akslantiruvchi funksiya bo’lib, mansublik fazosi deb aataladi.

Noravshn to’plamostilarining to’plami va uning xossalari [1, 9]. U

to’plamostilarining to’plamini P(U) ko’rinishda belgilaymiz. Masalan, ܷ =
{ݑ_ଵ, ݑ_ଶ, ݑ_ଷ} elementlar berilgan bo’lsa, u holda ܲ⁽ܷ⁾ = ൛∅, ^{ݑ_ଵ^}, ^{ݑ_ଶ^}, ^{ݑ_ଷ^}, ^{ݑ_ଵ, ݑ_ଶ^},
^{ݑ_ଶ, ݑ_ଷ^}, ^{ݑ_ଵ, ݑ_ଷ^}, ^{ݑ_ଵ, ݑ_ଶ, ݑ_ଷ^}ൟ, ya’ni ܲ⁽ܷ⁾ to’plam 2³=8 elementlardan (^|ܲ⁽ܷ^)| = 8) iborat bo’ladi. Umumiy holda U = {u₁, u₂,…, u_n } elementlar berilgan bo’lsa, u holda, ya’ni ܲ⁽ܷ⁾ to’plam 2ⁿ elementlardan ( ^|ܲ⁽ܷ^)| = 2^௡ ) iborat bo’ladi. NTlarda
«NTostilarining to’plami» boshqacha yo’l bilan aniqlanadi. M fazo sifatida [0; 1] intervalda M=[0, 0.5, 1] qiymatlarni olsak, u holda ܷ = {ݔ_ଵ, ݔ_ଶ} NTlarning P(U) to’plamini quyidagicha hosil qilamiz:
ܲ⁽ܷ⁾ = {^{(ݔ_ଵ^|0⁾, ⁽ݔ_ଶ^|0^)}, ^{(ݔ_ଵ^|0⁾, ⁽ݔ_ଶ^|0.5^)}, ^{(ݔ_ଵ^|0.5⁾, ⁽ݔ_ଶ^|0^)},
^{(ݔ_ଵ^|0.5⁾, ⁽ݔ_ଶ^|0.5^)}, ^{(ݔ_ଵ^|0⁾, ⁽ݔ_ଶ^|1^)}, ^{(ݔ_ଵ^|1⁾, ⁽ݔ_ଶ^|0^)}, ^{(ݔ_ଵ^|1⁾,
⁽ݔ_ଶ^|0.5^)}, ^{(ݔ_ଵ^|0.5⁾, (ݔ_ଶ|1)^}, ^{(ݔ_ଵ^|1⁾, (ݔ_ଶ|1)^}}.
Umumiy holda, agar U to’plam U = {x₁, x₂,…, x_n } elementlardan va M fazo [a;
b] intervaldagi M = [y₁, y₂,…, y_m] qiymatlardan iborat bo’lsa, u holda NTlarning soni
^|ܲ⁽ܷ^)| = ݉^௡ aniqlanadi.
Mansublik funksiyasi (MF). MF - bu ^A NT bilan ifodalaniladigan
tushunchaga ^{u U} elementi mos bo`lishi darajasining sub’ektiv o`lchovi. Bu ^u
holat paydo bo`lgan holda A holatni kuzatish shartli ehtimoli emas, balki <sup>A</sup> NT bilan ifodalaniladigan tushunchasi bilan <sup>u</sup> holatni izohlash mumkinligi (mumkinlik
darajasi).
Masalan, “Neksiya” avtomobili ichida xaydovchidan tashqari yana 6 (yoki 7) odam bo`lish ehtimoli aslida 0ga teng. Ammo bu holatning mumkinligi turli vaziyatlarga qarab (xaydovchining o`z avtomobiliga shaxsiy munosabati, passajirlarni olib borish zarurligi, ularni o`rtacha og`irligi va h.k.) 0 dan 1gacha o`zgarishi mumkin.
MFni qurishning ikkita, ya’ni bevosita va bilvosita usullar sinfi mavjud.
Bevosita usullar bir yoki bir nechta ekspertlar tomonidan berilgan baholashlarga asoslanadi. Bu holda MF [5, 28]

n
 _À (U )  ¹

m

(11.1)

formula bo`yicha belgilanadi. Bu yerda
n₁  A
NT ga
u U
elementning

mansubligi to`g`risida quyilgan savolga to`g`ri javob bergan ekspertlar soni; ⁿ₂ -

salbiy javob bergan ekspertlar soni;
m  n₁  n₂
- ekspertlarning umumiy soni.

Misol. Berilgan
U = {1,2,3,4,5}
to`plamda “Ikkidan sal ko`proq” tushunchani

formallashitiradigan ^A NT ni qurish kerak. Faraz qilaylik, oltita ekspertlar bilan o`tkazilgan so`rov quyidagi natijalarni berdi (11.1-jadval).
11.1-jadval.

	U
m	1	2	3	4	5
n1	0	0	6	4	1
n2	6	6	0	2	5

Jadvaldagi ma’lumotlarga va (11.1) formulaga asoslanib

_A (1)  0;
_A (2)  0;
_A (3)  1;
_A (4)  0.7;
_A (5)  0.2.

hosil qilamiz. Natijada ^A NTning MFsi
_A (u)  {1/ 3 ,  0.7 / 4 ,  0.2/ 5 }
ko`rinishda belgilanadi.
Ko`rib chiqilgan usul eng sodda bo`lib eng past aniqlikga ega. Bevosita usullar qatoriga ekspertlar bilan o`tkazilgan so`rov asosida olinadigan formula, jadval, sanab chiqish va h.k. ko`rinishda MFning berilish usullari ham kiradi.
Bilvosita usullar qulayroq bo`lib, ularnining orasida juft-juftli solishitirish usuli
eng ko`p qo`llaniladigan usul hisoblanadi.

Bu usulda so`rov natijasi ^{M }
m_ij ,

i, j  1, n
ko`rinishdagi matritsa shaklida

beriladi. Bu yerda: n - MFning qiymatlarini solishtiradigan nutqalar soni;
^mij

elementlar - ^A NTga
u_i U
elementlarning
u _j U
elementlariga nisbatan

mansublik darajasini baholashlarini belgilaydi, ya’ni ular ekspert fikri bo`yicha

 _A (u_i )
qiymati
 _A (u _j )
qiymatidan necha marta katta bo`lganligini ko`rsatadi. Bu

holda
^mii
 1,
^mi j
 1/ m_ji .

Ekspert ishlatadigan tushunchalarni baholash va izohlashlar quyidagicha qabul qilingan (Saati shkalasiga muvofiq 9 ballik tizimda) (11.2-jadval).
11.2-jadval.

Tushunchani ma’nosi	^mi j
^^(^ui^)^taxminan (u j ) ^ga^teng ^^(^ui^)^sal (u j ) ^dan^katta ^^(^ui^) (u j ) ^dan^katta ^^(^ui^) (u j ) ^dan^sezilarli^darajada^katta ^^(^ui^) (u j ) ^dan^ancha^katta Sanab o`tilgan baholashlar darajasi bo`yicha oraliqdagi baholashlar	1 3 5 7 9 2, 4, 6, 8

11.2-jadvaldagi ma’lumotlardan foydalanib, MFsi qiymatlari
(u₁, u₂ ,..., u_n )
nuqtalardagi

 _A (u_i ) 
^mi j
n
 m_{i j} i1


(11.2)

bo`yicha hisoblab chiqiladi. Bu yerda ravishda tanlab olinadi.
i, j  I
 {1,2,..., n}.
j ning qiymati ixtiyoriy

_A (u_i )
qiymatlarini topish uchun
M  m_ij ,


i, j  1, n
matritsaning ixtiyoriy

ravishda tanlab olingan j - ustunini belgilab,
^mi j
elementlar qiymatlarini j -

ustundagi barcha elementlar qiymati jamiga nisbatlarini hisoblab chiqish kerak.
Misol. Faraz qilaylik, ikki nuqta orasidagi masofani tasvirlash uchun ^ -

“Masofa” LO`
T  {<sub>1</sub>  " Кichik ", <sub>2</sub>  "O`rta ", ₃  " Кatta "}
term-to`plami bilan

qo`llaniladi. Asosiy to`plam
U ={1,3,6,8}
ko`rinishda berilgan.

"₁  Kichik"
term ₁,U,G₁ 
NO’ yordamida ifodalanadi. “Kichik” termni

ifodalaydigan
G₁ NTning
 (u)

G
1
MFni qurish kerak.

Ekspertlarni so`rash natijasida quyidagi juft-juftli solishtirish

m_ij (i  1, n; j
^{ 1, m)} matritsasi (11.2-rasm)

^mij




1

1

		1	3	6	8
1		1	5	6	7
3		1/5	1	4	6
6		1/6	1/4	1	4
8		1/7	1/6	1/4	1

11.2-rasm. Solishtirish matritsasi.

hosil qilingan bo`lsin. Bu yerda, masalan,
m₁₂  5
element ekspert
^{G (1)} ni
_G (3) _ga

nisbatan katta qiymati bilan baholashini,
m₁₄  7
element esa - ekspert
^{G (1)} ni

1

1
^{G (8)} ga nisbatan sezilarli darajada katta qiymati bilan baholashini ko`rsatadi.

M matritsaning birinchi
(j = 1)
ustunini belgilab, uning elementlar

G

1
qiymatlarini
М1 ={1,1/5,1/6,1/7}
ko`rinishda ajratib olamiz. Keyin (11.2)

formuladan foydalanib, “Kichik” termni ifodalaydigan ^G1
qiymatlarini
NTning
 (u) _MF

_C1
(1)  

G
1
(u₁ ) 
^m11
4
 m_{i 1}
i1
_ 1
1,55
 0,64; 

G
1
(3)  0,16; 

G
1
(6)  0,11; 

G
1
(8)  0,09.

topamiz. Shunday qilib ^G1 NT
G₁  { 0,64/1 ,  0,16 / 3 ,  0,11/ 6 ,  0,09/ 8 }

ifodalanadi.
Ta’rif. Mansublik funksiysining maksimal qiymati, ya’ni NT ning balandligi deb

nomlanadigan qiymati
^{hgt( A) } Sup ^{ A (u)  1}
uU
(birga teng) bo`lsa, u holda NT

normal to`plam deb ataladi.

Ta’rif. Agarda
to`plam deb ataladi.
<sup>hgt( A) </sup> Sup <sup> A (u)  1</sup>
uU
bo`lsa, u holda bunday NT subnormal

Ta’rif. Agar
_A (u) 1
faqat bir
u U
elementdan iborat bo`lsa, u holda

bunday NT unimodal to`plam deb ataladi.
nutqalar deb ataydilar.
<sub>A</sub> (u)  0.5
bo`lgan elementlarni o`tish

Ta’rif. Agar NT ifodalovchisi faqat bir elementdan iborat bo`lsa, bunday to`plamni singlton deb ataladi.

Ta’rif. Barcha
u U
elementlar uchun
^{A (u)  0} , ya’ni
^{u U} ,
_O (u)  0

bo`lgan NT bo`sh to`plam deb ataladi.

NTning quvvati
birlashtirish amali.
A  __A (u)
xX
ko`rinishda belgilanadi. Bu yerda _ -

Agar M fazo faqat ikkita 0 va 1 nuqtalardan iborat bo’lsa, u holda A noaniqmas (aniq) deb ataladi va unung MFsi noaniqmas to’plamning xarakteristik funksiyasi bilan mos tushadi.
Quyida biz M sifatida [0; 1] intervalni qaraymiz, bunda 0 va 1 mos ravishda mansublikning quyi va yuqori darajasini anglatadi. Mansublik to’plamlari sifatida boshqa intervallar ham qaraladi, masalan, MYSIN exspert tizimida [−1; 1] interval, qisman tartiblashgan ixtiyoriy to’plamlar [0; 10], [0; 100] intervallarda, xususiy holda panjarali intervallar ham qaraladi. Shunday qilib, U to’plamda berilgan A NT unung mansublik A(u) funksiyasining berilishiga ekvivalent bo’ladi va A to’plamning chegaralarining noaniqligiga qaramasdan har bir elementini taqqoslash yo’li bilan 0 va 1 oralig’idagi ߤ_஺⁽ݑ⁾ sonni aniqlash mumkin.
Misol. 1) Faraz qilaylik U to`plam [0,10] oraliqdagi natural sonlarga tegishli
universal to`plami bo`lsin. Ushbu to`plamda “Taxminan 5” noravshan tushunchaga

tegishli
^A1 NTni quyidagi ko`rinishda ifodalanish mumkin [5, 28]:

A₁  { 0 / 0 ,  0.1/1 ,  0.3/ 2 ,  0.5 / 3 , < 0.8/4 >, < 1/5 >,

< 0.8/6 >,< 0.5/7 >, < 0.3/8 >, < 0.1/9 >,< 0/10 >}.
Bu NTning MFsi 11.3-rasmda keltirilgan. Bu yerda

A

1
^{S {1,2,3,4,5,6,7,8,9}}, NT ^A ₁^{= 1(u = 5)}; NT
A₁ - normal, unimodal to`plam.

O`tish nutqalari:
^{u  3} va
^{u  7} .

Quvvati:
A₁ ={0,1+ 0,3+ 0,5 + 0,8 +1+ 0,8 + 0,5 + 0,3+ 0,1}.

2) Faraz qilaylik, U to’plam [10-80] oraliqdagi 1 mm diskret qadami mumkin bo`lgan mahsulotning qalinligiga tegishli universal to`plami bo`lsin. Unda, masalan,
<sup></sup> - “Kichik qalinlik” noravshan tushunchaga tegishli <sup>A</sup> NT quyidagi ko`rinishda
2
ifodalanish mumkin

A₂ = {< 1/10 >,< 0.9/11>,< 0.8/12 >,< 0.7/13>,< 0.5/14>,

< 0.3/15>,< 0.1/16>,< 0/17 >,< 0/18 >,…}
Bu NTning MFsi 11.4-rasmda keltirilgan. Bu yerda

_SA ^{= {10,11,12,13,14,15,16},} NT
A₂ = 1(u = 10).

11.3-rasm.
^A1 NTning MFsi.

11.4-rasm. ^A2
NTning MFsi.

NTlarning xususiy hollari sifatida adabiyotlarda foydalaniladigan S va - MFlarini keltiramiz [1, 11, 18]:
ߚ
;ߛ ≤ ݑ ܽ݀ݎܽ݃ܽ ൰ߛ , ₂ − ߛ ,ߚ − ߛ ;ݑ൬ ܵ

= ⁾ߛ ,ߚ ,ݑ⁽ߨ ൞
ߚ
.ߛ ≥ ݑ ܽ݀ݎܽ݃ܽ ൰ߚ + ߛ , ₂ + ߛ ,ߛ ;ݑ൬ ܵ

;ߙ ≤ ݑ ܽ݀ݎܽ݃ܽ 0 ≤ ߙ ܽ݀ݎܽ݃ܽ 2(^௨ିఈ)^ଶ ;ߚ ≤ ݑ
ఊିఈ

⁾ߛ ,ߚ ,ߙ ,ݑ⁽ܵ =
1 − 2 ^௨ିఈቁ

ቀ

ଶ
ఊିఈ
;ߛ ≤ ݑ ≤ ߚ ܽ݀ݎܽ݃ܽ

.ߛ ≥ ݑ ܽ݀ݎܽ݃ܽ 1 ⎩
Bu MFlari grafik shaklda 11.5-rasmdagidek tasvirlanadi.

Agarda U sonli chiziqning to’plamosti bo’lsa, xususiy hol uchun ko’p hollarda (L-R) tipli noaniq to’plamdan foydalaniladi. Bunday to’plamlar uchun MFsi L va R ko’rinishda beriladi va ular quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:

• 
  L(0) = R(0) = 1;
  
• 
  L va R - manfiymas haqiqiy sonlar to’plamida o’suvchimas funksiyalar.
  

(L-R) tipli A noaniq to’plamda masublik funksiyasi quyidagicha beriladi:
ߙ^ଵ − ݑ

^⎧ ܮ ቆ
⎪ ^ߙ௅
0; > _௅ߙ ^ூ,ߙ ≤ ݑ ܽ݀ݎܽ݃ܽ ቇ

ߤ_஺⁽ݑ⁾ =
ݑ − ߙ^ூூ
_⎨ܴ ቆ
0; > _ோߙ ^ூூ,ߙ ≥ ݑ ܽ݀ݎܽ݃ܽ ቇ

_⎪ ߙ_ோ
^ூூ].ߙ ^ூ,ߙ^[߳ݑ ܽ݀ݎܽ݃ܽ ⎩1
Bu MFlari grafik shaklda 11.6-rasmdagidek tasvirlanadi.

Ko’p hollarda (L-R)-tipli chiziqli funksiyalardan foydalaniladi (11.7-rasm)

_௅;ߙ ≤ ݑ ܽ݀ݎܽ݃ܽ 0

^⎧ ௨ିఈ_ಽ
⎪ ^ఈ಺ିఈ_ಽ
ܽ݀ݎܽ݃ܽ _௅ߙ
≤ ݑ ≤ ߙ^ூ;

^ூூ;ߙ ≤ ݑ ≤ ^ூߙ ܽ݀ݎܽ݃ܽ 1 = ⁾ݑ_஺⁽ߤ

^⎨ ఈ_ೃି௨
_⎪ఈ_ೃିఈ^಺಺
_ோ;ߙ ≤ ݑ ≤ ^ூூߙ ܽ݀ݎܽ݃ܽ

_ோߙ ≥ ݑ ܽ݀ݎܽ݃ܽ 0 ⎩

(L-R)-tipli chiziqli funksiyalarning xususiy hollari sifatida (ߙ^ூ < ߙ^ூூ) bo’lganda trapetsiyli va (ߙ^ூ = ߙ^ூூ = ߙ) bo’lganda uchburchakli funksiyalardan foydalaniladi.