|
Nuqtaning tezligi. Harakat qonuni vektor usulda berilganda nuqtaning tezligi.
Nuqta tezligi vektor miqdor bo’lib, nuqta harakatining berilgan momentdagi
shakl 8.
O+
M
0
M
S
r
0
M
M
y
x
O
0
r
r
v
0
v
A
B
33
tezligi va bu harakatning yo’nalishini harakterlaydi. Nuqta
AB
egri chiziqli
traektoriya chizgan bo’lsin,
)
(
t
r
r
- harakat tenglamasi. Harakatlanayotgan bu nuqta
holatini ixtiyoriy olingan qo’zg’almas O nuqtadan o’tkazilgan, uning
)
(
t
r
radius
vektori bilan aniqlanadi (49-shakl). Kichik vaqt
t
oralig’ida esa ya’ni
t
t
momentda
M
holatni olsin.
M
nuqtaning radius vektorini
1
r
bilan belgilaymiz.
M
M
vektor nuqtaning
t
vaqtdagi ko’chishi deb ataladi.
M
M
ko’chishni vaqt
oralig’i
t
ga nisbatini ifodalovchi
MK
vektorni o’rtacha tezlik deyiladi. Agar
nuqtaning o’rtacha tezligini
*
bilan belgilasak,
MK
t
MM
'
*
ga teng.
49-shakl.
Endi
t
ni nolga intiltirib boramiz, bunda
M
nuqta
M
nuqtaga intiladi.
*
vektor yo’nalishining limiti traektoriyaning M nuqtasidagi urinma yo’nalishiga mos
keladi, uning moduli esa,
Ml
MK
t
MM
t
t
t
0
0
0
lim
'
lim
*
lim
Ammo
M
OM
uchburchakdan
M
M
r
r
1
,
____
1
r
r
r
M
M
olamiz. Bu erda
r
harakatlanayotgan nuqta radius vektorining
t
vaqtdagi o’zgarishidir. Shuning uchun
t
r
va
t
r
t
0
lim
*
.
Demak,
dt
r
d
(4.10)
ya’ni,
harakatlanayotgan nuqta tezligi bu nuqtaning radius vektoridan vaqt
bo’yicha olingan birinchi tartibli hosilasiga teng.
Harakat qonuni koordinata va tabiiy usulda berilganda nuqtaning tezligi.
Nuqta harakati koordinat usulda berilgan bo’lsin:
)
(
)
(
)
(
t
z
z
t
y
y
t
x
x
(4.11)
r
radius vektorni koordinata o’qlaridagi proekstiyalari orqali yozish mumkin.
K
M'
r
r
d
r
O
A
M
1
r
34
k
z
i
y
i
x
r
(4.12)
Bu erda
k
j
i
,
,
koordinata o’qlari bo’ylab yo’nalgan birlik vektorlardir. Tezlik
vektorining koordinata o’qlaridagi proekstiyalari
z
y
x
,
,
bo’lsin, u holda
ni
quyidagicha yozish mumkin.
k
j
i
z
y
x
(4.13)
(4.10) va (4.12) ni (4.13) ga qo’ysak, quyidagini hosil qilamiz:
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
k
z
j
y
i
x
dt
d
k
j
i
z
y
x
)
(
Ifoda ayniyat bo’lgani uchun birlik vektorlar oldidagi koeffitsientlar
tegishlicha bo’lishi kerak:
z
dt
dz
y
dt
dy
x
dt
dx
z
y
x
;
;
(4.14)
Demak, tezlik vektorining koordinata o’qidagi proekstiyasi harakatdagi nuqta
koordinatasidan vaqtga nisbatan olingan hosilaga teng bo’lar ekan.
Vektorning proekstiyalari ma’lum bo’lsa, uning moduli va yo’nalishini topish
mumkin. U proekstiyalarga qurilgan parallelopiped diagonaliga teng, shunga ko’ra:
2
2
2
z
y
x
Tezlik vektorining yo’naltiruvchi kosinuslari uchun quyidagi formulalarni
yozamiz
z
y
x
k
j
i
)
,
cos(
;
)
,
cos(
;
)
,
cos(
Harakat tekislikda bo’lsa, X, Y o’qlarni harakat tekisligida olamiz
2
y
2
x
y
x
;
dt
dy
;
dt
dx
y
x
j
i
)
,
cos(
;
)
,
cos(
Harakat qonuni tabiiy usulda berilganda nuqta tezligi.
Nuqta
berilgan
traektoriya
bo’ylab
)
(
t
f
C
qonuniga
muvofiq
harakatlanayotgan bo’lsin. Nuqta t vaqtda M vaziyatda va
t
t
momentda esa
M
vaziyatda bo’lsin (50-shakl)
____
__
__
_____
_____
______
'
'
'
S
S
S
OM
OM
MM
bo’ladi.
Traektoriyasi ma’lum bo’lgandagi nuqtaning istalgan momentdagi tezlik
vektori urinma bo’ylab yo’naladi. Shuning uchun bizga tezlikning modulini
topishgina qoladi. Ma’lumki, tezlik
t
MM
t
t
'
lim
*
lim
0
0
35
50-shakl.
Shakl almashtirish kiritamiz
t
S
lim
S
r
lim
t
S
S
'
M
M
lim
0
t
0
S
0
t
S
r
lim
0
S
bo’lgani uchun tezlik moduli
)
t
(
'
f
dt
ds
t
S
lim
0
t
(4.15)
bo’ladi.
0
dt
/
ds
bo’lsa,
S
o’sib boradi.
0
dt
ds
bo’lsa harakat teskari sodir bo’ladi,
keyingi holda tezlik moduli uchun
dt
ds
ning absolyut qiymati olinadi, ya’ni
/
/
dt
ds
.
Agar
const
dt
ds
bo’lsa, harakat tekis bo’ladi ya’ni S=S0+
t, agar t=0 da S0=0
bo’lsa,
t
S
bo’ladi.
Nuqtaning tezlanishi.
1. Harakat qonuni vektor usulda berilganda nuqta tezlanishi.
Nuqtaning tezlanishi vektor kattalik bo’lib, berilgan daqiqadagi nuqta tezlik
vektorining vaqtga qarab o’zgarishini xarakterlaydi. Traektoriya bir tekislikda yotsin
(50-shakl).
Harakatlanayotgan nuqta traektoriyada t daqiqada
M
holatda, tezligi
bo’lsin, bu nuqta
t kichik vaqt oralig’ida, ya’ni t+
t daqiqada
M
holatni olsin va
tezligi
1
bo’lsin,
1
vektorni
M
nuqtaga parallel ko’chiramiz, uning uchini
1
vektorning uchi bilan tutashtiramiz va chizilgan uchburchakning parallelogrammga
to’ldiramiz. U holda
'
A
М
bo’lgani uchun
MA
vektor
t vaqtda tezlik
o’zgarishini ifodalaydi. Endi
t vaqtga mos keluvchi
vektorni
t ga nisbatiga
teng bo’lgan
MB
vektorni yasaymiz. Ya’ni
t
A
M
t
В
М
bu vektor nuqtaning
t
vaqtdagi o’rtacha tezlanishi deyiladi.
'
36
51-shakl.
Uning
t nolga intilgandagi daqiqada M nuqtaning haqiqiy tezlanishi
vektorini ifodalaydi.
t
d
d
a
t
d
d
t
MB
a
t
t
0
0
lim
lim
(4.16)
Bu vektorni chizmada
MC
vektor bilan ifodalaymiz.
MC
traektoriya
tekisligida yotadi.
M nuqta bir tekislikda yotmaydigan egri chiziqli traektoriya bo’ylab
harakatlansin (52-shakl).
Egri chiziqda bir-biriga yaqin ikkita M va M1 nuqtalarni olib, hap biri orqali
nuqtaning harakati yo’nalishida
M
va
1
1
M
urinmalarini o’tkazamiz. Egri chiziq bir
tekislikda yotmagani uchun ikki
M
va
1
1
M
urinmalar orqali bitta tekislik o’tkazib
bo’lmaydi. M nuqtadan
1
1
M
ga parallel
1
M
chiziqni o’tkazamiz
1
1
M
yotgan
tekislikni P0 bilan belgilaymiz. M1 nuqta M ga intilnganda P0 tekislikning
M
atrofida aylanib, holati o’zgarib boradi. M1 nuqta M ga intilganda P0 ning egallagan
limiti holatini P bilan belgilaymiz.
P tekislikda
M
bilan egri chiziqning juda kichik elementi ham joylashadi.
Shunday tekislik egri chiziqning egrilik yoki yopishma tekisligini ifodalaydi. Agar
egri chiziq bir tekislikda yotsa, shu tekislik egrilik tekisligi bo’ladi. Egri chiziqning
(traektoriyaning) qaralayotgan nuqtasidan o’tgan urinma va shu nuqtaga juda yaqin
bo’lgan nuqtalar orqali o’tgan tekislik yopishma tekislik deyiladi. Tezlanish
vektorining yopishma tekislikda yotishi uning ta’rifidan ko’rinib turibdi.
tezlik
orttirmasi traektoriyaning botiq tomoniga qarab yo’nalgani uchun, tezlanish vektori
ham shu tomonga qarab yo’naladi.
1
1
A
M
1
M
B
a
C
37
52-shakl.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
