Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti «Elektr energetika»

AMALIY MASHG’ULOT


Masala: Ayrim tenglamalar uchun misol sifatida Gurvits misolining ishlatilishini ko‘ramiz.

1. 
   Uchinchi darajali tenglama:
   

a₀r³+ a₁r³+ a₂r³+ a₃=0

Bosh determinant

Gurvits sharti

Demak tizim Barqaror bo‘lishligi uchun barcha a₀, a₁, a₂, a₃–koeffitsientlar mubat bo‘lishi va Gurvits sharti bajarilishi zarur.

2. To‘rtinchi darajali tenglama:

a₀r⁴+ a₁r³+ a₂r³+ a₃r+a₄=0

Bosh determinant

Gurvits sharti

yoki ₂=a₃(a₁ a₂– a₃ a₀)– a₁² a₄= a₃₁– a₁² a₄>0.

Aniqlovchi ₂ musbat bo‘lishi uchun albatta ₁>0 bo‘lishi shart. SHu sababli to‘rtinchi darajali tenglama uchun barqarorlik sharti quyidagi nisbatan bilan ifodalanadi:

a₃(a₁ a₂– a₃ a₂)– a₁² a₄>0
3.Beshinchi darajali tenglama:
a₀r⁵+a₁r⁴+a₂r³+a₃r²+ a₄r+ a₅=0
bunday tenglama bilan ifodalangan tizimning barqarorligi uchun

₂=a₁(a₂a₃– a₁a₄)– a₀(a₃²–a₅a₁)>0;

₃=(a₃a₄–a₂a₅)(a₁a₂–a₀a₃)–(a₁a₄–a₀a₅)²>0;

bo‘lishi shart.

Raus va Gurvits mezoni bo‘yicha tizim barqarorligini aniqlashga misol keltiramiz: 13.3,b- rasmda berilgan [1] tizim barqarorligini tekshirish uchun quyidagi ko‘rsatkichlar berilgan:
T₁  0,1 s; T_m  0,2 s; T_s  0,1 s; T  0,05 s;   20;

b_sk  0,1;   0,2.

-I_sR₀0 deb qabul qilib, 13.3,b- rasmdan bosh teskari bog‘lanishni o‘z ichiga oladigan, bir zvenoli ochiq tuzilma sxemasini hosil qilamiz:

Bunda:

(5.5)

ga teng. Teskari bog‘lanishi uzilgan tizimning (5.4-rasm), uzatish funksiyasini yozamiz:

(5.6)

16.1-rasm. Teskari bog‘lanishi uzilgan sxema

(5.6) tenglamaning maxrajini aloxida yechamiz:
(T₁p1)(T_mTp²T_mp1)(Sp1)b_skSpT₁ST_mTp⁴T_mT₁Tp³+

+T_mTSp³T_mST₁p³+T_mTp²+T_mT₁p²T_mSp²T₁Sp²T_mp+

T₁pS+b_skSp
va xarakteristik tenglamaning koeffitsientlarini Raus–Gurvits mezoni bo‘yicha algebraik natijalarini aniqlaymiz:

(5.7)

Bu yerda, a₀  T_mT₁TS  0,20,1 0,050,1 0,0001;

a₁T_mTT₁+T_mTST₁ST_m0,20,050,10,20,050,1+0,1

 0,1 0,2  0,004;

a₂  T_mTT_m (T₁  T_s )T₁T_s0,20,050,2(0,10,1) 0,1

 0,1  0,06;

a₃  T_m T₁  T_s (1b_sk)  0,20,10,1(1200,1)  0,6;

a₄  1;

b₀    0,2 20  4;

b₁  T_s  0,2 20 0,1  0,4.

Gurvits mezoni bo‘yicha a₀>0; a₁>0; a₂>0; a₃>0; a₄>0 bo‘lgani sababli zaruriy shart bajarilgan. Ammo yetarli bo‘lishligi uchun shart ham bajarilishi kerak. Faqat o‘sha holdagina tizim barqaror deyiladi, ya'ni

=a₁a₂- a₃a₀ =0,0040,06-0,60,0001=0,00018>0;

=a₁(a₂a₃-a₁a₄)-a₀a₃²=0,004(0,060,6-0,0041)-

-0,00010,6²=9210^-6>0.

Natijalar va koeffitsientlar manfiy emas, demak Gurvits mezoni bo‘yicha tizim barqaror.

0. 
   
   
1. 
   
   

Masala: Naykvist mezoni bo‘yicha yuqorida keltirilgan tizim barqarorligini aniqlash uchun (5.7) tenglamadagi p ni j ga almashtirib, belgilashlar kiritamiz:

(5.16)
(5.16) ni soddalashtiramiz:

(5.17)

Bu erda,

Ab₀4; Ca₄–a₂a₀⁴1-0,06² +0,0001⁴;

Bb₁  0,4; D  ( a₃ – a₁²)  0,6 – 0,004³

W(j) ning surat va maxrajini maxraj qo‘shma kompleksga ko‘paytirib, haqiqiy qismini P() va mavhum jQ() qismlarini ajratib
W(j)=P()+jQ(), (5.18)

yozamiz.

17.4-rasm. Naykvist mezoni bo‘yicha barqarorlikni aniqlash AFXsi

Bu erda,

; (5.19)

0. 
   Davr tezlik  ga 0, 1, 5, 10, 15, 20 va boshqa qiymatlar berib, (5.19) tenglamadan P() va Q() miqorlarni topib, AFX ni suramiz (5.8(rasm). AFX (-1; j0) bo‘lgan nuqtani o‘rab olmagani uchun tizim Naykvist mezoni bo‘yicha barqarordir.
   

Masala: Mixaylov mezoni quyidagicha ta’riflanadi:

YOpiq tizimning barqaror bo‘lishi uchun chastota 0 ora-lig‘ida o‘zgarganda harakteristik vektor musbat yo‘nalishida o‘z harakatini haqiqiy yarim o‘qni musbat qismidan boshlab kompleks tekislikni m kvadratini o‘tishi va hech yerda nolga aylanmasligi kerak.

Barqaror yopiq tizimlar uchun Mixaylov egriliklari 5.9,b–rasmda keltirilgan. Ular har xil darajali (m=1; 2; 3; 4; 5) tenglamalarga tegishlidir. Agarda (5.21) tenglamadan olinadigan (j) polinom musbat ishorali haqiqiy qismli ildizlarga ega bo‘lsa, unda tizim Barqaror bo‘ladi. Bu ildizlar sonini egrilikning ko‘rinishidan aniqlab olsa bo‘ladi. Agar (j) vektorni to‘liq buri-lish burchagi (M-2r)(/2) teng bo‘lsa, unda ildizlar soni r ga teng bo‘ladi. Bunda r haqiqiy qismi musbat bo‘lgan ildizlar soni.

4.17,a– rasmda berilgan tizimning barqarorligini Mixaylov mezoni bo‘yicha aniqlaymiz. YOpiq tizimning vektor xarakteristikasi (4.46) tenglama bo‘yicha aniqlanadi va quyidagicha yozilishi mumkin:

M(r)=a₀r⁴+ a₁r³+ a₂r²+ a₃r+ a₄ (5.22)

YUqorida ko‘rib o‘tilgan masalada berilgan koeffitsientlarni olamiz, faqat a₃ va a₄ larga boshqa sonlar beramiz (tizim barqaror bo‘lishi uchun):

a₀=10^-4; a₁=410^-3; a₂=0,006; a₃=0,1+0,2+(1+(0,1+0,2)20)0,1=1; a₄=1+0,220=5.

(5.22) tenglamadagi r ni j ga almashtirib, haqiqiy P() ni mavhum jQ() qismidan ajratib yozamiz:

M(j)=P()+jQ(), (5.23)

bu erda,

R()  a₄ – a₂²  a₀⁴ 5- 0,06²  0,0001⁴;

Q()  ( a₃ – a₁²)   – 0,004³ .

Xarakteristik tenglamada  ga 0 cha qiymatlar berib, P() va Q() ni hisoblab, godograf suramiz (5.10-rasm). Godografning ko‘rinishiga qarab, ya’ni harakteristik tenglama to‘rtinchi darajali algebraik tenglama bo‘lgani uchun, Mixaylov godografi koordinatalar tizimining to‘rtinchi choragida cheksizlikka intilgan tizimning barqarorligini bildiradi.