Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti «Elektr energetika»

16–MA’RUZA. Raus – Gurvits mezoni bo‘yicha barqarorlikni aniqlash
YUqorida ko‘rsatilgandek, tizimning barqarorligi haqida uni harakteristik tenglamasi ildizlariga qarab fikr yurgizish zarurligini angladik. Ammo yuqori darajali tenglamaning ildizlarini aniqlash murakkab masaladir. SHu sababli harakteristik tenglamaning ildizlarini aniqlamasdan bevosita tenglama koeffitsientlari asosida xulosa beradigan barqarorlik mezonlari yaratilgan. Bunday mezonlarni har xil shakllari va ularning nazariy asoslari oliy algebra fanida batafsil o‘tiladi. Avtomat rostlash nazariyasida esa algebraik mezonlardan eng ko‘p ishlatiladiganlari bu Raus va Gurvits mezonlari bo‘lib, biz asosan Gurvits mezonini ko‘rish bilan cheklanamiz, chunki ularning mazmuni bir bo‘lib, bayonlash shakli har xildir.

Raus–Gurvits mezoni tizim barqaror ligini aniqlashning algebraik usulidir. Bu usulga binoan yopiq ART ning xarakteristik tenglamasi

a₀pⁿ+a₁p^n-1...a_n-1pa_n0 (5.2)

a₀>0 bo‘lganida a_n koeffitsientlaridan ustun va qatorlarining soni o‘zaro teng bo‘lgan kvadrat matritsa tuziladi:

Matritsaning bosh diagonali bo‘yicha a₁ dan boshlab a_n gacha bo‘lgan koeffitsientlar yoziladi. SHu diagonaldan yuqoriga o‘qib boruvchi koeffitsientlar, pastga esa indeksi kamayib boruvchi koeffitsientlar yoziladi. Mavjud bo‘lmagan koeffitsientlarning o‘rni nollar bilan to‘ldiriladi.

CHiziqli tizim turg‘unligi uchun xarakteristik tenglama koeffitsientlaridan tuzilgan (5.3) matritsaning n-ta determinantlari musbat ishorali bo‘lishligi zarur va yetarlidir. Bosh determinantlar:
(5.3)

bular Gurvits determinantlari (aniqlovchilari) deb ataladi. Gurvitsning oxirgi aniqlovchisi, yuqoridagi (5.3) matritsaga binoan determinanti:

(5.4)

_{SHu sababli uni musbatliligi} bo‘lganida va bo‘lish bilan izohlanadi. Bularning ichida Gurvits determinantlarining oxiridan oldingisi, ya’ni aniqlovchi eng muhimidir.

Ayrim tenglamalar uchun misol sifatida Gurvits misolining ishlatilishini ko‘ramiz.

1. 
   Uchinchi darajali tenglama:
   

a₀r³+ a₁r³+ a₂r³+ a₃=0

Bosh determinant

Gurvits sharti

Demak tizim Barqaror bo‘lishligi uchun barcha a₀, a₁, a₂, a₃–koeffitsientlar mubat bo‘lishi va Gurvits sharti bajarilishi zarur.

2. To‘rtinchi darajali tenglama:

a₀r⁴+ a₁r³+ a₂r³+ a₃r+a₄=0

Bosh determinant

Gurvits sharti

yoki ₂=a₃(a₁ a₂– a₃ a₀)– a₁² a₄= a₃₁– a₁² a₄>0.

Aniqlovchi ₂ musbat bo‘lishi uchun albatta ₁>0 bo‘lishi shart. SHu sababli to‘rtinchi darajali tenglama uchun barqarorlik sharti quyidagi nisbatan bilan ifodalanadi:

a₃(a₁ a₂– a₃ a₂)– a₁² a₄>0
3.Beshinchi darajali tenglama:
a₀r⁵+a₁r⁴+a₂r³+a₃r²+ a₄r+ a₅=0
bunday tenglama bilan ifodalangan tizimning barqarorligi uchun

₂=a₁(a₂a₃– a₁a₄)– a₀(a₃²–a₅a₁)>0;

₃=(a₃a₄–a₂a₅)(a₁a₂–a₀a₃)–(a₁a₄–a₀a₅)²>0;

bo‘lishi shart.

Raus va Gurvits mezoni bo‘yicha tizim barqarorligini aniqlashga misol keltiramiz: 13.3,b- rasmda berilgan [1] tizim barqarorligini tekshirish uchun quyidagi ko‘rsatkichlar berilgan:
T₁  0,1 s; T_m  0,2 s; T_s  0,1 s; T  0,05 s;   20;

b_sk  0,1;   0,2.

-I_sR₀0 deb qabul qilib, 13.3,b- rasmdan bosh teskari bog‘lanishni o‘z ichiga oladigan, bir zvenoli ochiq tuzilma sxemasini hosil qilamiz:

Bunda:

(5.5)

ga teng. Teskari bog‘lanishi uzilgan tizimning (5.4-rasm), uzatish funksiyasini yozamiz:

(5.6)

16.1-rasm. Teskari bog‘lanishi uzilgan sxema

(5.6) tenglamaning maxrajini aloxida yechamiz:
(T₁p1)(T_mTp²T_mp1)(Sp1)b_skSpT₁ST_mTp⁴T_mT₁Tp³+

+T_mTSp³T_mST₁p³+T_mTp²+T_mT₁p²T_mSp²T₁Sp²T_mp+

T₁pS+b_skSp
va xarakteristik tenglamaning koeffitsientlarini Raus–Gurvits mezoni bo‘yicha algebraik natijalarini aniqlaymiz:

(5.7)

Bu yerda, a₀  T_mT₁TS  0,20,1 0,050,1 0,0001;

a₁T_mTT₁+T_mTST₁ST_m0,20,050,10,20,050,1+0,1

 0,1 0,2  0,004;

a₂  T_mTT_m (T₁  T_s )T₁T_s0,20,050,2(0,10,1) 0,1

 0,1  0,06;

a₃  T_m T₁  T_s (1b_sk)  0,20,10,1(1200,1)  0,6;

a₄  1;

b₀    0,2 20  4;

b₁  T_s  0,2 20 0,1  0,4.

Gurvits mezoni bo‘yicha a₀>0; a₁>0; a₂>0; a₃>0; a₄>0 bo‘lgani sababli zaruriy shart bajarilgan. Ammo yetarli bo‘lishligi uchun shart ham bajarilishi kerak. Faqat o‘sha holdagina tizim barqaror deyiladi, ya'ni

=a₁a₂- a₃a₀ =0,0040,06-0,60,0001=0,00018>0;

=a₁(a₂a₃-a₁a₄)-a₀a₃²=0,004(0,060,6-0,0041)-

-0,00010,6²=9210^-6>0.

Natijalar va koeffitsientlar manfiy emas, demak Gurvits mezoni bo‘yicha tizim barqaror.

16-mashg‘ulot bo‘yicha xulosa.

1. 
   Raus – Gurvits mezoni o‘rganildi
   
2. 
   Raus – Gurvits mezoni bo‘yichaboshqaruv tizimining barqarorligi aniqlash o‘rganildi