Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti «Elektr energetika»

18 – MA’RUZA. Mixaylov me’zoni bo‘yicha barqarorlikni aniqlash. YOpiq tizim barqaroligini logarifmik chastota xarakteristikalarining o‘zaro joylashuviga qarab aniqlash
Mixaylov mezoni yopiq tizim harakteristik vektori uchi chizadigan godografi (egriligi) bo‘yicha tizimning barqarorligi haqida xulosa qilishga imkon beradi.

Bu harakteristik vektor (5.11) tenglamadan olinishi mumkin.

M(p)=D(p)+G(p) (5.20)

Agar p almashtirilib, uning o‘rniga j qo‘yilsa va  esa 0 to  o‘zgartirilsa, unda vektor o‘zining uchi bilan kompleks tekislikda Mixaylov egriligini chizadi. Bu (5.20) ifoda r=j deb olganda m darajadagi polinom bo‘lib, uni ko‘paytmalarga ajratib yozish mumkin:

M(j)=( j-p₁)( j–p₂)...( j–p_m) (5.21)

5_5.9–rasm. Mixaylov bo‘yicha barqarorlikni aniqlash. a) Mixaylov mezonining isboti uchun grafik; b) Mixaylov egriligi

YOzilgan (5.21) tenglamani yopiq tizim Barqaror degan fikr bilan yozilgan. Uning o‘ng tomoni ildizlari (5.9,a–rasm) tekisligini mavhum o‘qining chap tomonidan joylashgan vektorlar ko‘paytmasidan iboratdir. CHunki haqiqiy ildizlarga mos bu (j-r_n) vektorlar Absissa o‘qi bilan birgalikda bo‘lgani uchun  ning 0 to  o‘zgarishida ularning har biri /2 burchakka buriladi. Bunda har bir qo‘shma kompleks juft ildizlar  burchakka buriladi. Haqiqatdan ham  0 o‘zgarganda (j-r₂) vektor  burchakka, vektor (j-r₃) esa ₂ burchakka buriladi. 2 (OAV–teng qirrali uchburchak) bo‘lgani uchun ikki vektorni natijaviy burilish burchagi ₁+₂=. SHunday qilib, m vektorlar ko‘paytmasidan hosil bo‘lgan  (j) vektor bu shartlarda m(/2) burchakka buriladi, ularing argumentlari esa ko‘paytmada o‘zaro qo‘shilishadi.

Mixaylov egriligi =0 bo‘lganda haqiqiy o‘qni musbat yo‘nalishida harakteristik tenglamani erkin hadiga teng bo‘lakka ajratadi. Harakteristik vektorning boshi koordinata boshiga to‘g‘ri keladi. SHu sababli agar tizim barqaror bo‘lsa, o‘z aylanishida hech bir joyda nolga aylanmasligi kerak.

Mixaylov mezoni quyidagicha ta’riflanadi:

YOpiq tizimning barqaror bo‘lishi uchun chastota 0 ora-lig‘ida o‘zgarganda harakteristik vektor musbat yo‘nalishida o‘z harakatini haqiqiy yarim o‘qni musbat qismidan boshlab kompleks tekislikni m kvadratini o‘tishi va hech yerda nolga aylanmasligi kerak.

Barqaror yopiq tizimlar uchun Mixaylov egriliklari 5.9,b–rasmda keltirilgan. Ular har xil darajali (m=1; 2; 3; 4; 5) tenglamalarga tegishlidir. Agarda (5.21) tenglamadan olinadigan (j) polinom musbat ishorali haqiqiy qismli ildizlarga ega bo‘lsa, unda tizim Barqaror bo‘ladi. Bu ildizlar sonini egrilikning ko‘rinishidan aniqlab olsa bo‘ladi. Agar (j) vektorni to‘liq buri-lish burchagi (M-2r)(/2) teng bo‘lsa, unda ildizlar soni r ga teng bo‘ladi. Bunda r haqiqiy qismi musbat bo‘lgan ildizlar soni.

4.17,a– rasmda berilgan tizimning barqarorligini Mixaylov mezoni bo‘yicha aniqlaymiz. YOpiq tizimning vektor xarakteristikasi (4.46) tenglama bo‘yicha aniqlanadi va quyidagicha yozilishi mumkin:

M(r)=a₀r⁴+ a₁r³+ a₂r²+ a₃r+ a₄ (5.22)

YUqorida ko‘rib o‘tilgan masalada berilgan koeffitsientlarni olamiz, faqat a₃ va a₄ larga boshqa sonlar beramiz (tizim barqaror bo‘lishi uchun):

a₀=10^-4; a₁=410^-3; a₂=0,006; a₃=0,1+0,2+(1+(0,1+0,2)20)0,1=1; a₄=1+0,220=5.

(5.22) tenglamadagi r ni j ga almashtirib, haqiqiy P() ni mavhum jQ() qismidan ajratib yozamiz:

M(j)=P()+jQ(), (5.23)

bu erda,

R()  a₄ – a₂²  a₀⁴ 5- 0,06²  0,0001⁴;

Q()  ( a₃ – a₁²)   – 0,004³ .

Xarakteristik tenglamada  ga 0 cha qiymatlar berib, P() va Q() ni hisoblab, godograf suramiz (5.10-rasm). Godografning ko‘rinishiga qarab, ya’ni harakteristik tenglama to‘rtinchi darajali algebraik tenglama bo‘lgani uchun, Mixaylov godografi koordinatalar tizimining to‘rtinchi choragida cheksizlikka intilgan tizimning barqarorligini bildiradi.
YOpiq tizim barqaroligini logarifmik chastota xarakteristikalarining o‘zaro joylashuviga qarab aniqlash
Bu uslub tizim ochiq bo‘lgandagi amplituda va fazani logarifmlangan chastota (LACHX va LFCHX) xarakteristikalarining o‘zaro joylashishiga qarab, uning barqarorligi haqida fikr yurgizishiga asoslanadi.

Naykvist mezonga u bilan Barqaror tizimda (-1;jo) A vektorining argumenti =–, hamda moduli bo‘lgan qiy-matlarda tizim Barqarorlik chegarasida yotadi.

18.1–rasm. Logarifmik amplituda harakteristikasi

Bunda , ya’ni logarifmik amplituda harakteristikasi (18.1,a-rasm) absissa o‘qini kesadi. Kesishish nuqtasi kesish chastotasi _k bilan baholanadi bunday tizim barqarorlik chegarasida bo‘ladi.