11. Kvadratik formalar

Teorema. ta noma`lumlarning haqiqiy koeffitsiyentli kvadratik formasi uning bosh minorlari qat`iy musbat bo`lganda va faqat shundagina, musbat aniqlangan bo`ladi.

Bu teoremani matematik induksiya metodidan foydalanib isbotlash mumkin.

Isbot. bo`lganda . Bu forma bo`lgandagina musbat aniqlangan.

Teoremani noma`lum uchun isbotlangan deb faraz qilamiz va ta noma`lum uchun isbotlaymiz.

Koeffitsiyentlari haqiqiy kvadratik forma berilgan bo`lib, uning matritsasi bo`lsin. Ma`lumki, agar kvadratik forma ustida matritsasi bo`lgan xosmas chiziqli almashtirish bajarilsa, u holda forma determinantining ishorasi o`zgarmaydi.

Haqiqatan ham, almashtirishdan so`ng matritsasi bo`lgan kvadratik forma hosil bo`ladi. Bu yerda

.

Endi bo`lsin. Uni quyidagicha yozish mumkin:

.

forma musbat aniqlangan bo`lsin. U holda induktiv farazga ko`ra formaning hamma bosh minorlari qat`iy musbat. formaning oxirgi bosh minori, ya`ni matritsa determinantining qat`iy musbatligi quyidagi mulohazadan kelib chiqadi: forma musbat aniqlanganligi sababli u xosmas chiziqli almashtirish yordamida ta musbat kvadratlardan tuzilgan normal ko`rinishga keladi. Bu normal ko`rinishning determinanti qat`iy musbat, shu sababli formaning determinanti ham qat`iy musbat.

Endi formaning hamma bosh minorlari qat`iy musbat bo`lsin. U holda formaning hamma bosh minorlari qat`iy musbat bolgani uchun induktiv farazga ko`ra forma musbat aniqlanganligi kelib chiqadi, ya`ni noma`lumlarning shunday chiziqli almashtirishi mavjudki, u yangi formani noma`lumlarning kvadratlari yig`indisi formasiga keltiradi. Bu chiziqli almashtirishni, deb faraz qilib, barcha noma`lumlarning chiziqli almashtirishigacha to`ldirish mumkin. Bu chiziqli almashtirishdan so`ng quyidagi ko`rinishga keladi:

.

ning aniq ko`rinishi biz uchun muhim emas.

bo`lgani uchun chiziqli almashtirish formani

(6)

kanonik ko`rinishga keltiradi.

formaning musbat aniqlanganligini ko`rsatish uchun sonning musbatligini ko`rsatish yetarli. Ko`rinib turibdiki, (6) formaning determinanti ga teng. Bu determinant esa musbat. Chunki, farazga asosan formaning bosh determinanti musbat va xosmas chiziqli almashtirishlarda forma determinantining ishorasi o`zgarmaydi.