Chiziqli algebra va funksional analiz fanlarining asosiy tushunchalaridan biri bu

Chiziqli algebra va funksional analiz fanlarining asosiy tushunchalaridan biri bu chiziqli operator tushunchasidir. Shu sababli ham chiziqli operatorlarlarni, ular aniqlangan chiziqli fazo va evklid fazolarini hamda bu fazolarda berilgan operatorlarlarni muhim xossalari va tatbiqlarini o`rganish juda muhim. Masalan, algebra fanidagi chiziqli almashtirishni, matematik fizika tenglamalari fanida differensiallashni operator sifatida qarash mumkin shuning uchun ham operator xossalarini o`rganish matematika fani nuqtayi nazaridan juda dolzarb masaladir.
Matritsalar algebrasining asosiy tushunchalaridan biri - chiziqli operatorlar tushunchasidir. Faraz qilaylik bizga L' chiziqli fazolar berilgan bo'lsin.
1-ta 'rif. Agar biror A qoida yoki qonun bo'yicha har bir x e L elementga y e L element mos qo'yilgan bo'lsa, u holda L fazoni Ll fazoga o'tkazuvchi A operator
(almashtirish, akslantirish) aniqlangan deyiladi va y — A(x) ko'rinishda belgilanadi.
2-ta'rif Agar ixtiyoriy uchun:
1) Ax + y) = A(x) + A(y) Operatorning additivhgi);
2) A{Xx) - AA(x) (()pem/ornjng fyjr jinsliligi) munosabatlar o'rinli bo'lsa, u holda bu operator chiziqli operator deyiladi.
1-misol. A:R~ —»i?3 operator Ax>y)~{x>y>x + y) q^^ i3üan aniqlangan bo'lsin, u holda bu operatorning chiziqli operator ekanligini ko'rsating.
Yechish. Ma'lumki, <2l~^xl,y]) va a2-(x2,y2) yektor uchun al+a2 = (xl + x2,yl+y2)_ y holda al+a2 = (xl + x2,yl+y2) elementga A
operatorni ta'sir ettirsak, quyidagiga ega bo'lamiz:
Aa l +a2) = A{xx + x2,y, +y2) = (xl+ x2,y, + y2,x, +x2+yx+y2) = = (xl,yl,xl+yl) + (x2 ,y2,x2+y2) = A(al) + A(a2). Bu esa A operatorning additivligini ko'rsatadi.
Endi operatorning bir jinsli ekanligini tekshiramiz. Ma'lumki, kjl —^^. U holda
A{kax) = A(kxl,kyl) = (kxl,kyl,kxl + kyx) = k(xl,yl,xl +y]) = kA{ax). Demak, biz o'rganayotgan operator chiziqli operatordir.
y - A(x) e Lx element x e L elementning aksi, x e L elementning o'zi esa y e L
elementningproobrcizi deyiladi. Agar bo'lsa, u holda A operator L fazoni
o'zini o'ziga akslantiruvchi operator bo'ladi. Biz ko'proq fazoni o'zini o'ziga akslantiruvchi operatorlarni o'rganamiz.
1-teorema. Har bir A\U —»Z7 chiziqli operatorga berilgan bazisda w_tartibli matritsa mos keladi va aksincha har bir w-tartibli matritsaga n o'lchovli chiziqli
fazoni, n o'lchovli chiziqli fazoga akslantiruvchi A chiziqli operator mos keladi.
Isbot. Faraz qilaylik A\U^U chiziqli operator bo'lsin. Agar
> vektorlar sistemasi L fazonmg bazisi bo Isa, u holda ixtiyoriy
x e elementni bu bazis elementlari orqali yozish mumkin:
x — xei +... + xnen ^
Bu yerda biz A operatorning chiziqliligidan foydalanib, ^- ni quyidagicha yoza olamiz:
Ä(x) = Ä{xle\+... + xn e„ ) = xxA(e i) + ... + xnA(e„) Bu yerda har bir ) - Kn) elementlar o'z navbatida fazoning
elementlari bo'lganligi sababli, bu elementlarni ham mumkin:
bazis orqali yozish
A(ei) = auei+... + allie„ ^
U holda (3) dan foydalanib (2) ifodani quyidagicha yozish mumkin:
A{x) = xl{ane i + a.2le 2 +... + anle„) + x2(al2ei + a.22e 2 +... + an2e„) +... +xn (aln ei + a2n e2+... + aim e„ ) = {anxl+ al2x2 +... + alnxn )ei + +{a2lxx + a22x2 +... + a2nxn )e2+... + (atAxx + an2x2 +... + annxn )e„
(4)
bazis elementlari
Ikkinchi tomondan ^ A(x) e]emen^ ]iam {C]'' • • •'e" } bo'yicha quyidagi yoyilmaga ega:
y = Ä(x) = ylei+y2e2+...+y„e„ ^
Vektorning bitta bazis bo'yicha yoyilmasi yagonaligidan (4) va (5) tengliklarning o'ng tomonlarini tenglashtirib, quyidagini olamiz.
y1 = anxx + a12 x2 +... + ainxn
y2 = a21X1 + a22 X2 + ... + a2nXn
K = a„x + a-x, +... + ax„
n n1 1 n 2 2 nn n
yoki matritsa ko'rinishida Y = AX, bu yerda
A =
ai 1 ai2
a21 a22
a
1n
a
2n
\an1 an2 ... ann J
,X =
x^
x0
V xn
, Y =
V
y2
v yn j
3-ta 'rif.
A = (au) J = 1,2,...,n)
matritsa A operatorning
bazisdagi matritsasi rangi deyiladi.
: A = (au )(i, J = h2,...,n)
matritsaning rangi esa A operatorning
<
L fazoning barcha vektorlarini & nol vektorga akslantiruvchi x) & operator nol operator, E(x) =x tenglikni qanoatlantiruvchi operator birlik operator deb
ataladi.
2-misol. R fazoda
, e2, e3}
bazisda chiziqli operator matritsasi A 3 2 4A
A =
-15 6 1 8 2
berilgan bo'lsin. x-4ei- 3e2 + e3 vektorning y ^x) aksini toping. Yechish. Yuqorida qayd qilingan formulaga ko'ra
'^4 ^ riQ A
r 3 2 4
y 2 = -1 5 6
vl 8 2
v y
13
v-18 y
Demak, ^ = 10^1-13^-18^3
T: R ^ R ; T
3-misol.
\ x^ 1 x^
X2 X3
X3 y I y
Yechish.
A =
T(e 1) T{e2) T(ei)
T(ei) = T
0
v 0 y
operatorning matritsasini toping.
matritsaning har bir elementini topamiz:
a+0 ^ r
1 - 0 0
v 1 y
5
r
v
-2^ 1
Demak, yangi bazisda operatorning matritsasi quyidagi ko'rinishda bo'ladi:
1 AC =1 n - 21 f 17 61 f1 21 f 5 0 1
=
5 v 2 1 J v 6 8 j v-2 1 > v0 20y
9-la 'rif. Agar A chiziqli operator va ^ son uchun ^
tenglik o'rinli bo'lsa, u holda ^ son operatorning xos soni, unga mos vektorga esa operatorning xos vektori deb ataladi.
Yuqoridagi tenglikni operatorning matritsasidan foydalanib yozsak, u holda quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
(an - X)xx + anx2 +-----+ a\„x„ = 0
alxxx + (a22 - X)x2 +-----+ alnxn = 0
a, ,x, + a, ~x ~ +-----+ ax = A - x,
11 1 12 2 1n n 1
+-----+ a, x = A - x„
21 1 22 2 2n n 2
a , x, + a +----+ a x = A - x
n1 1 n 2 2 nn n n
a ,x + a ,x, +----+ (a -A)x = 0
n1 1 n 2 2 V nn / n
>
o A [ A-ÄE]-X = 0 Bundan l J .
Bizga ma'lumki bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi har doim trivial yechimga ega. Chiziqli tenglamalar sistemasi trivial bo'lmagan yechimga ega bo'lishi uchun esa uning koeffitsiyentlaridan tuzilgan determinantning qiymati nolga teng bo'lishi zarur va yetarli, ya'ni
\A - äe| =
an - Ä a12 . . a1n
a 21 a22 - Ä . .. a2n
M M. .. M
an1 an2 .. ann -
ä
= 0
(6)
determinant ^ ga nisbatan n darajali ko'phaddir. Bu ko'phad ^
operatorning xarakteristik ko'phadi deb ataladi. (6) tenglama
A(x)
operatorning
xarakteristik tenglamasi deyiladi. Chiziqli operatorning xarakteristik ko'phadi bazisni tanlashga bog'liq emas.
+ 3x, - x - 2x )
6-misol. v J v i 2 3» i 2 3' l 3/ operatorning xos soni va xos vektorlarini toping.
Yechish. Awal A operatorning matritsasini tuzib olamiz:
' 2 -1 2 a
A =
5 - 3 3 1 0 - 2
Berilgan operatorga mos keluvchi bir jinsli tenglamalar sistemasi quyidagi ko'rinishni oladi:
(2 - ä)x - X + 2x = 0 5Xj - (3 + ä)x2 + 3x3 = 0 -x - (2 + ä)x = 0. Bundan xarakteristik ko'phadni topamiz:
2-ä -1 2 p(Ä)= 5 -3-ä 3 =-(ä + 1)3. -1 0 -2-ä Demak, xos son Ä = -1 ekan. Bu sonni sistemaga qo'ysak,
3x1 I 2— 0, 52I 3x3 — 0, — 0.
<
X = a
^^^ , mX'
Bundan = 7-misol. Ushbu
3. Demak,
1
A —
f 7 -2 0A -2 6 -2
v0 -2 5 ,
matritsaning xos soni va xos vektorlarini toping. Yechish. Xarakteristik tenglamani tuzib yechamiz:
7-A -2 0 -2 6 -A -2 = 0 0 -2 5-A
-A3 + 18A2 - 99A +162 = 0, a — 3, a = 6, a — 9. A = 3 xos son uchun xos vektor
4 x^ 2 — 0
2x^ 3x2 2x^ — 0
-2 x2 + 2 x3 — 0
tenglamalar sistemasidan aniqlanadi.
X — m
, deb qabul qilib, - 2m> x3 - 2m
ni
hosil qilamiz. Xos vektor: ~ mi + 2mj + 2mk . Shunga o'xshash
f2=mi +—mj -mk f3 = -mi + mj -—mk
2 ; 2 xos vektorlarni topamiz.
A —
3
8-misol. Agar ^ da chiziqli A operator 3 2 4 -15 6 1 8 2
e1, e2, e
3 bazisda o'zining
y = A(x)
matritsasi bilan berilgan bo'lsa, 3e2+ es vektorning
aksini toping.
Yechish. Y - AX formulaga binoan, y = 10e1-13e2-l 8e3
'
y2
v y3 y
3 2 4 > r 4 > r 10
-1 5 6 -3 — -13
1 8 2 y V 1 y V-18
Demak,
A =
9-misol. e'' ei bazisda A operator = — 2e2
e2 - 2ex + e2 |3azjS(ja a operatorning matritsasini toping.
f i 2 ^
17 6 v6 8y
matritsaga ega.
C =
Yechish. O'tish matritsasi Demak,
v-2 1 y
c-1 =
ning teskari matrisasi
1 -2 V2 1 y
i AC = - (i -21 (i7 61 (i 21 (i -21 ( i 21 (5 0 1
• • = • =
5 V 2 i , v 6 8 , V-2 i , V 8 4 , V-2 i, V0 20y