11. Kvadratik formalar

11. Kvadratik formalar

Reja

1. 
   Kvadratik formalar
   
2. 
   Kvadratik formalarning kanonik ko`rinishi
   
3. 
   Ortogonal almashtirish
   
4. 
   Inersiya qonuni
   
5. 
   Ishorasi aniqlangan kvadratik formalar
   

Tayanch soʻz va iboralar: kvadratik formalar, kanonik ko`rinish, inersiya qonuni, ortogonal almashtirish, xos va xosmas kvadratik formalar, xos va xosmas chiziqli almashtirishlar.
Kvadratik formalar nazariyasining manbalari ikkinchi tartibli chiziqlar va sirtlar nazariyasida yotadi. Ma`lumki, markazi koordinata boshida bo`lgan

(1)

egri chiziqda

(2)

almashtirish bajarib, ya`ni koordinata o`qlarini burchakka burib, (1) egri chiziq tenglamasini quyidagi

(3)

“kanonik” ko`rinishga keltirish mumkin. (2) almashtirish xosmas chiziqli almashtirish deb ataladi, chunki

.

1-ta`rif. ta noma`lumlarning kvadratik formasi deb har bir hadi bu no`malumlarning kvadrati yoki ikkita noma`lumning ko`paytmasidan iborat bo`lgan yig`indiga aytiladi.

Kvadratik formaning koeffitsiyentlaridan foydalanib

kvadrat matritsani tuzish mumkin. Bu yerda matritsaning barcha xarakteristik ildizlari haqiqiy bo`lishi uchun deb faraz qilinadi. matritsaning rangi (4) kvadratik formaning rangi deyiladi. matritsa aynimagan bo`lsa, (4) kvadratik forma xosmas deyiladi.

Kvadratik formaning koeffitsientlari haqiqiy yoki kompleks sonlar bo`lishiga bo`g`liq holda, kvadratik forma haqiqiy yoki kompleks deyiladi.

(4) ni matritsa formada quyidagacha yozish mumkin

. (5)

Bu yerda va o`zaro transponirlangan matritsalar bo`lib,

Ikkita no’malumli kvadratik forma quyidagi ko`rinishda bo`ladi:

Uchta no’malumning kvadratik formasi esa

_{ko’rinishda bo’ladi.}

Simmetrik matritsalar uchun ba`zi xossalarini keltirib o`tamiz:

1. 
   ;
   
2. 
   .
   

Bu xossalardan foydalanib quyidagi teoremani sxematik isbotlaymiz.

Teorema. matritsali noma`lumli kvadratik forma ustida matritsali chiziqli almashtirish bajarilgandan so`ng u matritsali yangi noma`lumli kvadratik formaga aylanadi.

Isbot. (4) formaga nisbatan

,

ya`ni chiziqli almashtirishni bajaramiz. U holda 1- xossaga ko`ra tenglikni hosil qilamiz. U holda (4) quyidagi ko`rinishga keladi:

yoki .

Bu yerda matritsa simmetrik bo`ladi.

1-misol. kvadratik forma ustida

almashtirish bajarilgandan so`ng hosil bo`lgan yangi kvadratik formani toping.

Yechish. Bu yerda kvadratik formaning matritsasi , chiziqli almashtirishning matritsasi esa ko’rinishda bo’ladi. U holda teoremaga asosan

.

Bundan quyidagi kvadratik formani hosil qilamiz:

.