Kvadratik formaning ta’rifi

Kvadratik formaning ta’rifi

. Kvadratik forma deb, har bir hadi birorta hadini kvadratidan yoki bo„lmasa har xil hadlarini ko„paytmasi yig„indisiga aytiladi. Kvadratik formalar berilishiga qarab ikki xil bo„ladi. Agar kvadratik formaning koeffitsiyentlari haqiqiy sonlardan iborat bo„lsa, bunday kvadratik formaga haqiqiy kvadratik forma deyiladi. Agar kvadratik formaning koeffitsiyentlari kompleks sonlardan iborat bo„lsa, kompleks kvadratik forma deyiladi. n  f x , x , , x 1 2 kvadratik formaning rangi deyiladi. Agar kvadratik formaning rangi nr bo„lsa, u holda A matritsiaga aynimagan matritsa deyiladi, f kvadratik formaga esa aynimagan kvadratik forma deyiladi. Shuni ham aytish kerakki har qanday tartibli matritsa uchun quyidagin ko„rinishdagi kvadratik forma mos keladi j  n i n j n ij i a x xf x x x    1 1 1 2 , (1), , noma‟lumliEndi n X ustun matritsasini ko„raylik                xn x x X  2 1 Bu matritsa bitta ustun va ta satrdan iborat. Agar bu matritsaga transponerlashn amalini bajarsak, quyidagi bitta satrga ega bo„lgan matritsa hosil bo„ladi: . , , , ' x x x 1 2 n X 6 Shunday qilib (1) kvadratik formani quyidagi ko„rinishda yozish mumkin bo„ladi x1f , x2 , xn, X 'AX  §2. Kvadratik formalarni kanonik ko‘rinishga keltirish Kvadratik formani aynimagan chiziqli almashtirish bilan quyidagi ko„rinishdagi kanonik ko„rinishga keltirish mumkin   2 2 2 2 2 1 2 1 1 , , n n n b y b y b y y f y y bu yerda n y , y , , y 1 2 yangi o„zgaruvchilar, b b b n , , , 1 2 koeffitsiyentlarning ga teng bo„lishi mumkin.ayrimlari 0 Bu kvadratik formaning dan farqli koeffitsiyentlar soni0 n  f x , x , , x 1 2 kvadratik formaning rangiga teng bo„lishini isbotlash mumkin

Inersiya qonuni

Faraz qilaylik n  f x , x , , x 1 2 har qanday koeffitsentli kompleks sonlardan iborat bo„lib aynimagan chiziqli almashtirishlarni qo„llash mumkin bo„lsin. Har qanday n o„zgaruvchili, rangi r bo„lgan kvadratik formani kanonik ko„rinishga:   2 2 2 2 2 1 2, 1 1 , , , n n n c y c y  c y  x f x x keltirish mumkin, bu yerda n c ,c , ,c 1 2 larni hammasi noldan farqli. Shuni ham aytish kerakki har qanday kompleks sondan aynimagan chiziqli almashtirish kiritib kvadratik ildiz chiqarish mumkin: i i i 1,r. c y i z Bu almashtirish kvadratik formani quyidagi ko„rinishga keltiradi: 2 2 2 2 1 r z z  z f (5) Bu ko„rinishga normal ko„rinish deyiladi. Demak, koeffitsentlari birga teng bo„lgan r ta noma‟lum kvadratlarining yig„indisiga normal ko„rinish deyiladi. Agar chiziqli forma f va g bir xil r ranga ega bo„lsa, f ni (5) normal ko„rinishga ni ham (5) ko„rinishga keltirish mumkin.keltirish mumkin. Demak, g 10 Teorema. Ikkita kompleks kvadratik formalarni kompleks hadli chiziqli almashtirishlar natijasida bir-biriga keltirish mumkin, agarda bu formaning rangi bir xil bo„lsa. Isboti: Teoremadan kelib chiqadiki har qanday r no‟malum r kvadratlar yig„indidan r noma‟lumli noldan farqli bo„lgan kompleks koeffitsiyentli yig„indidan bo„lsa uni kvadratik formaga keltirish mumkin. Har qanday haqiqiy n  f x , x , , x 1 2 kvadratik formani haqiqiy chiziqli almashtirishlar natijasida haqiqiy koeffitsiyentli normal ko„rinishga keltirish mumkin. Har qanday n  nf x , x , , x 1 2 no‟malum rangi r ga teng bo„lgan kvadratik formani quyidagi ko„rinishdagi kanonik formaga keltirish mumkin , 2 2 1 1 2 2 22 2 1 1 k k k k r r    c y  c c  c y   c y  c y f r, k 0 bu yerda k r 1  c ,c , ,c , ,c 1 2 lar musbat va noldan farqli sonlar, u vaqtda haqiqiy koeffitsiyentli aynimagan chiziqli almashtirish natijasida quyidagi hosil bo„ladi cizi yi y j1,2,...,r,zj ,i ,n dan keyin1, r , j f normal ko„rinishga keladi Bu kvadratlarning umumiy soni kvadratik formaning rangiga teng. Haqiqiy kvadratik forma har xil almashtirishlar yordamida normal ko„rinishga keltirish mumkin. Lekin no‟malumlarni nomerlari bo„yicha faqat bitta normal ko„rinishga keltirish mumkin. Buni haqiqiy hadli kvadratik formaga keltirish mumkinligiga inersiya qonuni deyiladi. Bu qonunni quyidagi teorema ifodalaydi. Teorema. Normal ko„rinishdagi musbat va manfiy kvadratlar soni, berilgan musbat hadli kvadratik formaga haqiqiy koeffitsentli haqiqiy aynimagan chiziqli almashtirishlarni tanlashga bog„liq emas. Isboti: n  f x , x , , x 1 2 kvadratik formani n x , x , , x 1 2 o„zgaruvchili n no‟malumli rangi r teng. Ikki xil usul bilan normal ko„rinishga kelsin . 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 k k r i i i r       z   z  z   z  z  y   y  y   y f (6) n x , x , , x 1 2 o„zgaruvchilardan n y , y , , y 1 2 o„zgaruvchilarga aynimagan chiziqli almashtirishlar orqali o„tdik, endi teskarisi ikkinchi o„zgaruvchilar ham birinchi o„zgaruvchilar chiziqli ifodalanadi aniqlovchisi esa nolda farqli bo„ladi y a xs i n n s i is , 1, 1     (7) Xuddi shunday , 1, , 1 z b xi j n n i  ji  j  (8) bu yerda aniqlovchi yana noldan farqli bo„ladi, (7) va (8) koeffitsentlar noldan farqli. Bu yerda ik deb kuyidagi sistemani yozish mumkin.