Guruh talabasi Nasriddinov Xorunboyning Diferensial tenglamalar fanidan

§. Bernulli differensial tenglamasi va uning tadbiqlari.
Bernulli tenglamasi Darbu Rikatti tenglamasi va uni yechish
1-ta’rif. Ushbu
(2.1)
Ko’rinishdagi differensial tenglamaga Bernulli differensial tenglamasi deyiladi, P(x) va Q(x) lar biror oraliqda berilgan uzluksiz funksiyalar, -biror o’zgarmas haqiqiy son Ravshanki agar bo’lsa, (2.1) tenglamadan
birinchi tartibli chiziqli tenglama hosil bo’ladi,bu tenglamani I-bobda o’rgangan edik.
Agar bo’lsa, (2.1) tenglamadan
yoki
tenglamaga kelamiz. Bu esa o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadan iboratdir.
Demak, (2.1) differensial tenglamasida bo’lganda bizga ma’lum differensial tenglamalar hosil bo’ladi. Endi deb faraz qilamiz.
1-teorema. Agar P(x), Q(x) funksiyalar Ix oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo’lib, bo’lsa u holda sohaning ixtiyoriy olingan (x₀;y₀) nuqtasidan (2.1) tenglamaning Ix oraliqda aniqlangan bitta integral chizig’i o’tadi.
Isboti. (2.1) tenglamadan

va bo’lgani uchun bu funksiya D sohada uzluksiz bo’ladi.
Demak, Koshi teoremasiga ko’ra D sohaning ixtiyoriy (x₀;y₀) nuqtasidan (2.1) differensial tenglamaning bitta integral chizig’i o’tadi.
Agar bo’lsa, bo’lganda Bernulli differensial tenglamasining yechimi bo’ladi.Bu xususiy yechimdir.Ammo bo’lganda funksiya y=0 da uzilishga ega va nuqtada yechimning yagonaligi buzulishi mumkin. Ammo bo’lsa, funksiya maxsus yechim bo’ladi ya’ni, ning har bir nuqtasida orqali kamida bitta (ko’rilayotgan holda birdan ortiq ) integral chiziq o’tadi.Buni ko’rsatish uchun avval (1) ni da birinchi tartibli chiziqli tenglamaga keltirib, kvadraturalarda integrallash mumkinligini ko’rsatamiz. deylik. (2.1) tenglamaning ikkala tomonini ga bo’lamiz.
(2.2)
va , (2.3)
ko’rinishda almashtirishni bajaramiz. (2.3) ni x ga nisbatan differensiallaymiz:

yoki (2.4)
(2.3) va (2.4) ga asosan (2.2) ning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:
, yoki
(2.5)
(2.5) tenglama esa z ga nisbatan birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamadan iborat.
Shuning uchun buning umumiy yechimi (integrali) quyidagicha bo’ladi.
(2.6)
Endi z dan y ga (2.3) tenglikdan foydalanib qaytsak, bu holda (2.1) Bernulli differensial tenglamasining umumiy integralini hosil qilamiz.
(2.7)
(2.6) tenglikni z=CA(x)+B(x)
ko’rinishda yozib olaylik, bu yerda A(x), B(x) lar Jx oraliqda uzluksiz funksiyalar. U holda (2.1) ning umumiy yechimi:
agar x=x₀, y=y₀=0 va
bo’lsa, bu formula yordamida ushbu tenglamadan C ning yagona qiymatini topa olamiz, ya’ni .
Shunday qilib, (x₀;0) nuqtadan

Integral chiziq o’tadi.
ravshanki, bo’lganda (2.1) tenglama
yechimga ega. Bu yechim ham (x₀;0) nuqtadan o’tadigan integral chiziqni ifodalaydi. Demak, Bernulli differensial tenglamasi kvadraturalarda integrallanadi;
2) Benulli differensial tenglamasi
bo’lganda maxsus yechimga ega.
Misol. Bernulli tenglamasini yechishni qaraymiz.
Yechilishi: Misoldan: P(x)=a=const, Q(x)=x, ekanligi ma’lum. Berilgan tenglamani har ikkala tomonini ga bo’lamiz:
endi eb faraz qilamiz, bu holda , yoki demak, yoki bu esa z ga nisbatan birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamadan iboratdir, bu yerda
Chiziqli tenglaqmaning umumiy integrali uchun chiqarilgan formulaga ko’ra (I-bobdagi (1.8) formula ):
yoki

Qavs ichidagi integralni bo’laklab integrallaymiz:
bunga asosan esa
bo’ladi, yoki bo’lganligi uchun berilgan tenglamaning umumiy integrali bunday bo’ladi:
shuningdek, yechim, maxsus yechim ekanligini ham eslatib o’tamiz.
Darbu tenglamasi va uni yechish.
Ushbu
M(x)dx+N(x)dy+P(x)(xdy-ydx)=0, (2.8) ko’rinishdagi tenglamani ham Bernulli differensial tenglamasiga keltirish mumkin, agarda M(x) va N(x) funksiyalar bir o’lchovli va P(x) shu yoki boshqa o’lchovli bir jinsli funksiya bo’lsa. (2.8) tenglamani ba’zan Darbu tenglamasi deb ham aytiladi.
Faraz qilaylik, M(x) va N(x) ning har biri m-darajali va P(x) esa n-darajali bir jinsli funksiya bo’lsin, ya’ni:

Agar desak, u holda y=xz, bo’lib, berilgan (2.8) tenglamaning ko’inishi bunday bo’ladi:
yoki
yoki
bu esa, Bernulli differensial tenglamasidan iborat bo’lib, bu yerda


Bu tenglama esa, yuqorida (1⁰ nunktda) ko’rsatilgan metod bilan integrallanadi. Albatta integrallashdan so’ng, z ni bilan almashtirish lozimdir.
Misol. Ushbu Darbu tenglamasini integrallang:
,
Yechilishi: Berilgan tenglamada m=3, n=1; shuning uchun deb faraz qilamiz bundan, demak,
yoki buni x³ ga qisqartirsak, bunday yozish mumkin:
yoki
Bu yerda esa x ga nisbatan birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamadan iborat bo’lib,
bu yerda m=3, n=1 bo’lgani uchun n-m+2=0, ya’ni bo’lib, Bernulli tenglamasi birinchi tartibli chiziqli tenglamadan iborat bo’lgan holdir, endi chiziqli tenglamaning umumiy integralining formulasi bo’yicha ushbuni topamiz:


Bu integralni e’tiborga olib umumiy yechimni topamiz:

bo’lgani uchun

natijada esa,
yoki

yoki qaytib z ni bilan almashtirilsa
C₂=const
Rikkati differensial tenglamasi.
Umumlashgan Rikkati tenglamasi deb ushbu tenglamani aytiladi:
(2.16)
Bunda P, Q, R berilgan bo’lib, ular x ning funksiyalaridan iboratdir.
P=0 bo’lsa, (2.16) tenglamadan
birinchi tartibli chiziqli tenglama hosil bo’ladi.
Agar R=0 bo’lsa, ushbu Bernulli differensial tenglamasi hosil bo’ladi:
(2.16) ni quyidagicha yozib olaylik
(2,17)
(2.17) tenglamaning o’ng tomoni
sohada aniqlangan va uzluksiz bo’lib,y bo’yicha uzluksiz differensiallanuvchi, chunki
O’ng tomondagi funksiya D sohada aniqlangan va uzluksiz funksiya D sohada aniqlangan va uzluksiz funksiyadan iboratdir. Demak D sohada Koshi teoremasining shartlari o’rinli. D sohaning ixtiyoriy olingan , nuqtasidan Rikkati tenglamasining bitta integral chizig’i o’tadi.
2.2-Teorema. Agar (2.16) Rikkati tenglamasining bitta xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, bu tenglama kvadraturalarda integrallanadi.
Isboti. Faraz qilaylik funksiya (2.16) tenglamaning biror xususiy yechimi bo’lsin, ya’ni:
(2.18) ayniyat o’rinli bo’ladi.
Endi y=y₁+z ko’rinishdagi almashtirish bajaramiz:


bo’ladi.
(2.18) tenglikka asosan z no’malumni toppish uchun esa

Tenglamaga ega bo’lamiz, bu esa Bernulli differensial tenglamasidan iborat bo’lib, ikkita kvadratura bilan integrallanadi. Tenglamani har ikkala tomonini ga bo’lib, so’ngra
(2.19) almashtirish bajarsak:

(2.20)
bo’ladi. Bu chiziqli tenglamaning umumiy integrali
(2.21)
ko’rinishda bo’ladi. Endi eski o’zgaruvchiga tenglik orqali qaytsak, (2.16) tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha bo’ladi:

1. Misol. tenglama Rikkati differensial tenglamasi bo’lib, uning xususiy yechimini ko’rinishda izlash maqsadga muvofiqdir. Bundan

Bundan ekanligi kelib chiqadi. Ravshanki

Ham berilgan tenglamaning xususiy yechimi bo’ladi.
Agar ni olsak, u holda

Almashtirish bajarib, tegishli Bernulli tenglamasi
ko’rinishda bo’ladi.
Endi desak, tenglamaga kelamiz. Bu esa o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir. Uning umumiy yechimi:
ko’rinishda bo’lib,
Almashtirishlar yordamida berilgan Rikkati tenglamasining umumiy yechimi ushbu ko’rinishda bo’ladi:
(C=const)
2-misol. tenglama Rikkati tenglamasining tipidan bo’lib, bunda
da aniqlangan uzluksiz funksiyalardir.
funksiya tenglamani qanoatlantirishini tekshirib ko’rish qiyin emas. Shuning uchun,
almashtirish bajarsak, bundan
Bularni berilgan tenglamaga qo`yilsa , ushbu Bernulli tenglamasini hosil qilamiz :
Bu tenglamani integrallash uchun ikkala tomonini z ga bo`lib , so`ngra deb faraz qilamiz , bundan ushbu chiziqli tenglamani hosil qilamiz

Bu tenglamaning umumiy yechimi esa

bo`ladi.
bo`lgani uchun
bundan , (C=const)
Berilgan tenglamaning umumiy integrali shuning o`zi bo`lib, u ixtiyoriy o`zgarmasga nisbatan chiziqli ratsional funksiyadan iboratdir.


Xulosa
Bizga ma’lumki chiziqli differensial tenglamalar oddiy differensial tenglamalar fanining muhim rivojlanayotgan tarmoqlaridan biri bo’lib hisoblanadi. Ayniqsa, chiziqli o’zgarmas koeffitsiyentli differensial tenglamalar bo’limi salohiyati va amaliy qo’llana bilishi jihatidan muhim ahamiyat kasb etadi va u juda ko’p tushunchalarni o’z ichiga oladi. Chiziqli differensial tenglamalarni va uning xossalarini o’rganish – oddiy differensial tenglamalar fanini yaxshi o’zlashtirish, unga tegishli bo’lgan tushunchalar va turli masalalarni yechishga, ularni oson hal qilishga imkon beradi.
Bu kurs ishini tayyorlash davomida quyidagilarni o’rgandim:

1. 
   Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar haqida tushuncha;
   
2. 
   Ularning xossalari;
   
3. 
   n-tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar;
   
4. 
   n-tartibli o’zgarmas koeffitsiyentli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar;
   
5. 
   Eyler tenglamasi.
   

Bundan tashqari differensial tenglamalarning turli boshqa masalalarga tatbiqlariga oid misollarni yechilishi bilan batafsil tanishib chiqdim.