Guruh talabasi Nasriddinov Xorunboyning Diferensial tenglamalar fanidan

Teorema 8. Agar n- nchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar xususiy yechimlarga ega bo’lsa, bu yechimlar chiziqli bog’langan bo’ladilar.
Boshqacha aytganda -chi tartibli bir jinslichiziqli differensial tenglamalar tadan ortiq chiziqli bog’lanmagan yechimga ega emas.
Isbot. Faraz etaylik lar chiziqli bog’langan bo’lsinlar. U holda ta chiziqli bog’langan funksiyalar ta chiziqli bog’langan funksiyalarning xususiy xolidir.
Haqiqatan ham, ning hamma qiymatlarida

ayniyat bajariladi.
2-hol. funksiyalar chiziqli bog’lanmagan bo’lsin. U holda ular
fundamental yechimlar sistemani tashkil etadi.
Ma’lumki tenglamaning ixtiyoriy xususiy yechimi bular orqali koeffisentlari o’zgarmas bo’lgan chiziqli ravishda ifodalanadi, shu jumladan yechim ham

ya’ni ular chiziqli bog’langandir.


II BOB. Eyler-Bernulli Langranj, Darbu usullari
2.1-§. Eyler-Bernulli Langranj
paragrafning asosiy natijasi, (1) - tenglama yechimini y=u*v, (u=u(x), v=v(x) - noma’lum funksiyalar) ko’rinishda izlab, (1) ni umumiy yechimi uchun ushbu formulani hosil qilishdan iboratdir:
C=const, (2)
(3)
Bu yerda, P(x), Q(x),
da berilgan uzluksiz funksiyalar, -biror o’zgarmas haqiqiy son ( ) Agar bo’lsa, (3)dan (1), ya’ni birinchi tartibli chiziqli tenglama hosil bo’ladi, agar bo’lsa, (3)dan
yoki o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama hosil bo’ladi, shu sababdan ham deb faraz qilamiz.
paragrafning asosiy natijasi ushbu teoremani isbotlashdan iborat:
Teorema: Agar P(x), Q(x) funksiyalar oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo’lib, bo’lsa, u holda sohaning ixtiyoriy olingan nuqtasidan (3) tenglamaning oraliqda aniqlangan bitta integral chizig’I o’tadi. Ravshanki, bo’lganda, (3) tenglama yechimga ega. Bu yechim ham nuqtadan o’tadigan integral chiziqni ifodalaydi, bu yechim (3) tenglamaning umumiy yechimdan hosil bo’lmaydi va u maxsus yechim hisoblanadi.
da ushbu Darbu tenglamasi:
(4) bunda,
M(x) va N(x) funksiyalar bir o’lchovli va P(x) shu yoki boshqa o’lchovli bir jinsli funksiyalar. da esa ushbu
(5)
Yakobi differensial tenglamasi bunda
berilgan o’zgarmas sonlardan iborat.
O’rganiladigan (4) va (5) tenglamalarni Bernulli differensial tenglamasiga keltirib yechish usullari o’rganiladi va konkret misollarni yechib ko’rsatiladi.
Ushbu Rikkati differensial tenglamasi o’rganiladi:
(6)
Bunda P(x), Q(x) va R(x), -berilgan funksiyalar.
Ravshanki, agar R(x)=0 bo’lsa, ushbu Bernulli differensial tenglamasi hosil bo’ladi:

Bu paragrafda ushbu teorema ham isbotlanadi:
Teorema: Agar (6) Rikkati tenglamasining bitta xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, bu tenglama kvadraturalarda integrallanadi.
Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar.

1. 
   Ta’rif.
   

Ushbu (1)
Ko’rinishdagi tenglama birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama deyiladi, (1) tenglamada P(x), Q(x) funksiyalar biror oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo’lsin. (1) ni sohada qaraymiz, bu to’plam oraliqning qanday bo’lishiga qarab tasma (kenglik), va tekisliklardan iborat bo’lishi mumkin.
Bir qator differensial tenglamalar, xususan Bernulli, Rikkati va boshqa tenglamalarni integrallashga keltiriladi.
Ma’lumki, (1) tenglamani integrallashda bir necha metodlar mavjuddir. Bu metodlardan ikkitasini qarab chiqamiz.
Eyler Bernulli metodi.

1. 
   tenglamani yechishda bu metodda erkin o’zgaruvchi x ni o’zicha qoldirib, y noma’lum funksiyani esa y=u*v, (1,2) shaklda izlash tavsiya etiladi, bu yerda u va v larning har biri x ning no’malum funksiyasi bo’lib, ulardan biri hozircha ixtiyoriydir: u=u(x), v=v(x),
   

(1.2) dan hosilani hisoblaymiz
(1.3)
(1.2) va (1.3) ni (1.1) ga qo’ysak
(1.4)
Endi u=u(x) funksiyani shunday tanlaymizki, natijada
(1,5)
Tenglik bajarilsin. (1.5) tenglama esa o’zgaruvchilari ajraladigan tenglama bo’lgani uchun, o’zgaruvchilarni ajratib

Bundan esa, integrallash natijasida:
yoki (1.6)
Biz bu yerda soddaliknuqtai nazaridan ixtiyoriy o’zgarmas sonni kiitmadik.
Endi (1.5) ga asosan, (1,4) tenglama ko’rinishi bunday bo’ladi:

(1.6) tenglik bilan aniqlangan u ning o’rniga ifodasini qo’ysak,
yoki
bundan esa
(C=const), (1.7) (1.6) va (1.7) tengliklarni e’tiborga olib eski o’zgaruvchi y ga (1.2) tenglik bo’yicha qaytsak, natijada (1.1) tenglamaning umumiy integralini quyidagi ko’rinishda hosil qilamiz.
(1.8)
(1.8) umumiy yechimning tuzulishiga qaraganda u ikki kvadraturani talab qiladi.
Agarda (1.8) tenglikdagi kvadraturalarni bajarib, qavsni ochilsa, uning umumy ko’rinishi

bo’ladi. Bundan ko’rinadiki: birinchi tartibli chiziqli tenglamaning umumiy integrali-integrallash natijasida hosil bo’lgan ixtiyoriy o’zgarmasga nisbatan butun chiziqli funksiyadan iboratdir.
Misol. Ushbu chiziqli tenglama integrallansin:

Bu yerda
Eyler Bernulli metodiga muofiq
y=u*v, (1.10)
deb faraz qilsak bundan

Buni va (1.10) almashtirishi berilgan tenglamaga qo’ysak:

yoki v ning oldidagi koeffisentni nolga tenglashtirilsa,
yoki
yoki u(x)=x. (1.12)
(1.12 ga asosan (1.11) ning ko’rinishi
bo’ladi. Bundan esa
(C=const), (1.13)
(1.12) va (1.13) larni (1.10) ga qo’ysak, (1,9) tenglamaning ushbu ko’rinishdagi umumiy integralini hosil qilamiz:
(C=const), (1.14).
Lagranj usuli (o’zgarmasni variatsiyalash usuli)
Endi birinchi tartibli chiziqli tenglamani integrallash uchun Lagranj tomonidan taqdim etilgan ixtiyoriy o’zgarmasning variatsiyalash metodini qaraymiz.(1.1) tenglamaga mos birinchi tartibli chiziqli bir jinsli tenglamani
qaraymiz. (1.15)
Bu tenglamalani o’zgaruvchilarini ajratsak,
bundan yoki
(1.16)
Bu yerda C ixtiyoriy o’zgarmasdir.
Lagranj metodini mohiyati shundaki, (1.1) tenglamaning umumiy yechimini (1.16) ko’rinishda izlab, bu yerda C o’zgarmasni “x” ning biror no’malum funksiyasi deb: C=c(x) izlashni tavsiya qilinadi:
(1.17) u holda

(1.18)
(1.17) va ( 1.18) ni (1.1) ga qo’ysak,
yoki
bundan esa
C₁=const, (1.19) c(x) uchun topilgan bu ifodani (1.17) ga qo’ysak, Eyler-Bernulli usuli bilan topilgan (1.1) tenglamani umumiy yechimi uchun hosil qilingan natijani hosil qilamiz:
(1.20)
Misol.
Ushbu,
tenglamani Lagranj metodi bilan yechishni qaraymiz.
Yechilishi:

Bir jinsli tenglamani qaraymiz.

Bundan,

Yoki, Y=Cx;
Agar C=C(x)-no’malum funksiya desak, Y=C(x)x₁
y va ning ifodalarini berilgan tenglamaga qo’yamiz, bu holda Dc=2xdx
Demak, C=x²+C_1, (c₁=const)
Natijada,berilgan tenglamaning umumiy yechimi uchun ushbuni hosil qilamiz
yoki
Endi chiziqli tenglamaning ba’zi xususiyatlari bilan tanishamiz. Chiziqli tenglamani to’liq integrallash uchun ikki kvadratura bajarilishi lozim edi. Lekin agarda tenglamaning biror xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, integrallash bitta kvadratura bilan bajariladi. Haqiqatda faraz qilaylik,
y=y₁ tenglamaning xususiy yechimi bo’lsin, ya’ni
(1.21)
Agarda
(1.22)
Deb faraz qilinsa, (1.1) tenglamaning ko’rinishi
bo’ladi, yoki (1.21) ga asosan
(1.23) bundan,
Demak (1.24),
Buni (1.22) ga qo’yilsa, (1.1) tenglamaning umumiy integrali hosil bo’ladi:
(1.25)
Va bu bitta kvadratura bajarishni talab qiladi.
Demak, (1.1) chiziqli tenglamaning birorta xususiy yechimi ma’lum bo’lgan holda uni integrallash bitta kvadratura bilan bajariladi.
Endi faraz qilaylik, (1.1) tenglamaning ikkita va xususiy yechimlari ma’lum bo’lsin. Integrallash bu holda kvadraturasiz bajariladi. Haqiqatda chiziqli tenglama umumiy integralining ko’rinishi
(1.26)
Bo’lgan edi, bunda va
Ma’lum funksiyalar. Faraz qilaylik, y₁ va y₂ xususiy yechimlar C ning C₁ va C₂ qiymatlariga mos kelsin, ya’ni
(1.27)
(1.26) va (1.27) dan
bunda -ixtiyoriy o’zgarmas son, yoki buni y ga nisbatan yechilsa,
(1.28)
Demak, (1.1) chiziqli tenglamaning ikkita xususiy yechimi ma’lum bo’lgan holda, uni integrallash kvadraturasiz bajariladi.

2.2-