Funksiyaning hosilasi va differensiali



Download 243,95 Kb.
bet9/10
Sana18.03.2022
Hajmi243,95 Kb.
#500147
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Bog'liq
6-mavzu. FUNKSIYANING HOSILASI VA DIFFERENSIALI

40. Makloren formulasi. f (x) funksiyaning (6.27)Teylor formulasida x0  0 deb olinsa,ushbu f (x)  f (0)  f (0)  f (0) 2 f (n) (0) xn rn(x) (6.38)
1! x 2! x  n!

formula hosil bo’ladi. Bu holda qoldiq had rn (x) quyidagicha: 1 n1 1n f (n1)(x) ,

  1. Koshi ko’rinishida: rn(x)  x

n!

  1. Lagranj ko’rinishida: rn (x)  xn1 f (n1)(x), (n 1)!

v) Peano ko’rinishida: rn(x)  0(xn) 01yozilishi mumkin.
Yuqoridagi (6.38) formula f (x) funksiyaning Makloren formulasi deb ataladi.
Ushbu

f (0) f (0) 2 f n1(x) xn1, 01 f (x)  f (0)  1! x x  (n 1)!
2!
Lagranj ko’rinishidagi qoldiq hadli Makloren formulasini qaraylik. Bu formulaning qoldiq hadini baholaymiz. Faraz qilaylik, shunday M son mavjud bo’lsinki, argument x ning x0  0 nuqta atrofidagi qiymatlarida, hamda nN ning barcha qiymatlarida tengsizlik bajarilsin. U holda ushbu
tengsizizlikka ega bo’lamiz. x ning har bir tayin qiymatida
lim  0 n (n 1)!
limit o’rinli bo’lishini etiborga olsak, u holda n ning yetarli katta qiymatlarida rn (x) yetarli kichik bo’lishini ko’ramiz. Demak, x0  0 nuqta atrofida f (x) funksiyani
f (0) f (0) 2 f n(0) xn
f (0)  1! x  2! x  n!
ko’phad bilan almashtirish mumkin. Natijada ushbu

f (0) f (0) 2 f n(0) xn f (x)  f (0)  x x  n!
1! 2!
taqribiy formula kelib chiqadi.
50. Elementar funksiyalar uchun Makloren formulasi.
1) f (x)  ex bo’lsin. Bu funksiya uchun f n(x)  ex va f (0) 1 f n(0) 1 (n 1,2,3) bo’ladi.U holda

x 1 1x!  x22!  xnn!  rn(x) e
bo’lib, uning qoldiq hadi esa Lagranj ko’rinishida quyidagicha yoziladi:
rn (x)  xn1 ex 01 (n 1)!
Har bir x a,a (a  0) da ex ea bo’lkshini etiborga olsak, unda

rn (x)  an1 a e
(n 1)!
tenglik kelib chiqadi va n da an1 ea ifoda va demak, rn (x) ham (n 1)!
nolga intiladi. Natijada f (x)  ex funksiya uchun quyidagi

x x2 xn ex 11! 2!  n!
taqribiy formulaga ega bo’lamiz. Bu formuladan, xususan, x 1 bo’lganda, e sonini taqribiy hisoblash imkonini beradigan ushbu

x 1 11!  22!  n1! e
formula hosil bo’ladi. Bu holda rn (1)  .
2). f (x) sin x bo’lsin. Ma’lumki, bu funksiyaning n tartibli hosilasi uchun f n(x)  (sin x)n sin(x n) formula o’rinli. Ravshanki, f (0)  0 va 2
n(0)  sin n  0, n2-1 agar n- juft bo'lsa,
f
2 1 , agar n - toq bo'lsa.
f (x) sin x funksiyaning Makloren formulasi ntoq son bo’lganda
x3 x5 x7 n1 n
sin x x  3!  5!  7!  1n!  rn (x)
ko’rinishda yoziladi. Bu formulaning qoldiq hadi Lagranj ko’rinishda yoziladi:
xn2  rn (x)  sin(x n ) 01 (n  2)! 2
Ravshanki, x a,a (a  0) da
an2

rn (x) 
(n  2)!
an2
bo’lib, n da ifoda va demak, rn (x) ham nolga (n  2)!
intiladi.Shunday qilib, ntoq son bo’lganda ushbu

x3 x5 x7 n1 n sin x x  3!  5!  7!  1n!
taqribiy hisoblash formulasiga ega bo’lamiz.
3). f (x)  cos x bo’lsin. Bu funksiyaning n tartibli hosilasi uchun f n(x)  (cos x)n cos(x n) formula o’rinli.
2 Ravshanki, f (0) 1 va
f n(0) cos n2 01, n2 , agaragar nn- toqjuft bo'bo'lsa.lsa,
f (x)  cos x funksiyaning Makloren formulasi quyidagicha yoziladi:
x2 x4 x6 n
cos x 1 2!  4!  6!  1n!  rn (x)
(njuft son) ko’rinishda yoziladi. Bu formulaning qoldiq hadi Lagranj
xn2  ko’rinishda yoziladi: rn (x)  cos( x n ) 01
(n  2)! 2
Demak,
x2 x4 x6 n

cos x 1 2!  4!  6!  1n!
4). f (x)  ln(1 x) bo’lsin. Ma’lumki, bu funksiyaning ntartibli hosilasi uchun ushbu
f (n) (x)  (ln(1 x))n  (1)n1 ((1nx1))!n
formula o’rinli. Ravshanki, f (0)  0 f0n (1)n1(n 1)!. Shuni etiborga olib, berilgan funksiyani Makloren formulasini yozamiz:
x2 x3 x4 n1 xn

ln(1 x)  x  2  3  4  1n rn(x) (6.38)
Bu formulaning qoldiq hadi rn (x) ni baholashda uning Lagranj hamda
Koshi ko’rinishlaridan foydalanamiz.
a). 0 x 1 bo’lsin. Bu holda (6.38) formulaning Lagranj ko’rinishidagi
rn (x)  (n (1)n xn1 n1 01 1)(1 x)
qoldiq hadini olib, uning uchun quyidagi
(1)n xn1 1

rn (x)  (n 1)(1 n1  n 1
x)
bahoga ega bo’lamiz.
b). a x  0 0  a 1 bo’lsin. Bu holda (6.38) formulaning Koshi
ko’rinishidagi
rx (x)  1n xn1  (11 )n 0 1 1 (6.39)
(11x)n 1
qoldiq hadini olamiz. (6.39) tenglikni quyidagicha yozamiz:
11 n n1
nx
rx(x)  1 11x  11x

o’zgaruvchi x ning  a x  0, (0 a 1) qiymatlarida
11 1 11x
tengsizlik o’rinli bo’lishini hisobga olib, topamiz:
n n 1

r (x)  1n 1111x 1x1x  1xn11x  1ana1 . 
Demak, ln(1 x) funksiya uchun quyidagi


ln(1 x)  x x22  x33  x44  (1)n1 xnn
taqribiy hisoblash formulasi hosil bo’ladi.
5). f (x)  (1 x) bo’lsin, bunda R bu funksiyaning ntartibli hosilasi uchun f n(x)  ((1 x))n(1)(n 1)(1 x)n formulaga ega-miz. Ravshanki, f (0) 1 , f n(0) (1)(n 1) . f (x)  (1 x) funksiya-ning Makloren formulasi quyidagicha yoziladi:
(1 x) 1x (1) x2 (1)n!( n 1) xn rn(x),
1! 2!
qoldiq had rn (x) esa ushbu
rn(x) (1)( n 1) (1 x)an1(1)n xn1
n!
Koshi ko’rinishida yoziladi. Endi x 1 bo’lganda
rn (x)  (11) (12)(1n) (1 x)1 n1
 (11) (12)(1n) (1 x)1
bo’lib, n da nolga intiladi.
Xususan, n bo’lsa, u holda rn (x)  0 bo’lib, ushbu

(1x)n 1n x n(n 1) x2 n(n 1)n(!n n 1) xn
1! 2!
Nuyton binomi formulasiga kelamiz.
Shunday qilib, bu holda ushbu

(1x)n 1x (1) x2 (1)n!( n 1) xn
1! 2!
taqribiy formulaga egamiz.
Biz yuqorida elementar funksiyalarning Makloren formulalarini keltirdik. Bu formulalarning qoldiq hadlarini asosan Lagranj ko’rinishida yozib, so’ngra ularni baholadik. Elementar funksiyalarning Makloren formulalarida ularning qoldiq hadlarini boshqa ko’rinishlarda ham yozish mumkin. Masalan, elementar funksiyalarning Peano ko’rinishidagi qoldiq hadli Makloren formulalari quyidagicha yoziladi, (x 0)

  1. ex 1 1x!  x22!  xnn!  n ), o(x

  2. sin x x x3!3  x55!  x77!  (1) n 1 xnn!  o(xn ),

(bunda n toq son),

  1. cos x 1 x2 x4 x6  n2  xnn!  o(xn )

   (1)
2! 4 6
(bunda n juft son),

  1. ln(1 x)  x x22  x33  x44  (1)n1 xnn o(xn ),



  1. (1 x) 1x (1) x2 (1)n!( n 1) xn o(xn ).

1! 2!
Odatda bu formulalar asimptotik formulalar deyiladi.

Download 243,95 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish