Funksiyaning hosilasi va differensiali



Download 243,95 Kb.
bet2/10
Sana18.03.2022
Hajmi243,95 Kb.
#500147
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Bog'liq
6-mavzu. FUNKSIYANING HOSILASI VA DIFFERENSIALI

30. Funksiyaning uzluksiz bo’lishi bilan uning hosilaga ega bo’lishi orasidagi bog’lanish. f (x) funksiya (a, b) intervalda aniqlangan bo’lib, x0 (a, b) nuqtada chekli f (x0) hosilaga ega bo’lsin:
f (x0)  limx0 yx  limx0 f (x0  xx)  f (x0) .
Ushbu
y
  f (x0)
x
(6.2)
miqdor x ga bog’liq va t 0 da nolga intiladi.
(6.2) tenglikdan topamiz:
y f (x0)x x.
(6.3)
Odatda (6.3) formula funksiya orttirmasining formulasi deb ataladi. Bu formuladan
limx0y  limx0( f (x0)x  x)  0
kelib chiqadi.
Shunday qilib, f (x) funksiya x0 (a, b) nuqtada chekli f (x0) hosilaga ega bo’lsa, funksiya shu nuqtada uzluksiz bo’ladi.

2−eslatma. Funksiyaning biror nuqtada uzluksizligidan uning shu nuqtada chekli hosilaga ega bo’lishi har doim ham kelib chiqavermaydi. Masalan, y x funksiya x  0 nuqtada uzluksiz, ammo u shu nuqtada hosilaga ega emas.
2−§. Teskari funksiyaning hosilasi. Murakkab funksiyaning hosilasi
10. Teskari funksiyaning hosilasi. f (x) funksiya (a, b) intervalda aniqlangan bo’lib, bu funksiya teskari funksiyaning mavjudligi haqidagi teoremaning (qaralsin 5-bob) barcha shartlarini qanoatlantirsin.
1−teorema. f (x) funksiya (a, b) da uzluksiz va qat’iy o’suvchi
(qat’iy kamayuvchi) bo’lsin. Agar f (x) funksiya x0 (a, b) nuqtada f (x0)  0 hosilaga ega bo’lsa, bu funksiyaga teskari x f 1(y) funksiya x0 nuqtaga mos bo’lgan y0 (y0 f (x0)) nuqtada hosilaga ega va
f 1yyy0  1
f (x0)
tenglik o’rinli bo’ladi.
f (x) funksiya x0 (a, b) nuqtada f (x0)  0 hosilaga ega bo’lsin.
(6.3) formuladan foydalanib topamiz:
f (t)  f (x0)  f (x0)(t x0) (t x0) (t(a, b)) (6.4) bunda t x0 da (t) 0. Endi f (x) funksiyaning t nuqtadagi qiymatini f (t)  z deb belgilaymiz. Unda t f 1(z) shuningdek, x0 f 1(y0) bo’ladi. Natijada (6.4) tenglik ushbu
z y0 f (x0)( f 1(z)  f 1(y0)) ( f 1(z))( f 1(z)  f 1(y0)) 
1(z)  f 1(y0))( f (x0) ( f 1(z)))
 ( f
ko’rinishga keladi. Keyingi tenglikdan esa
f 1(z) f 1(y0) 1
1
z y0 f (x0)( f (z))
kelib chiqadi. z y0 da limitga o’tib topamiz:
zlimy0 f 1(zz) yf01(y0) zlimy0 f (x0) 1 ( f 1(z))  f (1x0) .
Demak,
f 1(z)  f 1(y0) 1 . lim 
zy0 z y0 f (x0)
Hosila ta’rifiga ko’ra
zlimy0 f 1(zz) yf01(y0)  ( f 1(y))yy0
bo’lib, bundan
( f 1(y))yy0  1
f (x0)
tenglikning o’rinli ekani kelib chiqadi.►
20. Murakkab funksiyaning hosilasi. u f (x) funksiya (a, b) intervalda, y F(u) funksiya esa (c, d) intervalda aniqlangan bo’lib, bu funksiyalar yordamida y F( f (x))  (x) murakkab funksiya tuzilgan bo’lsin (bunda, albatta, x(a, b) da u f (x)(c, d) bo’lishi talab qilinadi). 2-teorema. Agar u f (x) funksiya x0 (a, b) nuqtada f (x0) hosilaga ega bo’lib, y F(u) funksiya esa x0 nuqtaga mos u0 (u0 f (x0)) nuqtada F(u0) hosilaga ega bo’lsa, u holda
murakkab funksiya  (x)  F( f (x)) ham x0 nuqtada hosilaga ega va
(x0)  (F( f (x)))xx0 F(u0) f (x0) (6.5) formula orinli bo’ladi.
u f (x) funksiya x0 (a, b) nuqtada, y F(u) funksiya esa mos u0 (u0 f (x0)) nuqtada hosilaga ega bo’lsin. (6.3) formuladan foydalanib
topamiz:
f (t)  f (x0)  f (x0))(t x0) ( t)(t x0), (6.6)
F(s)  F(u0)  F(u0)(su0) (s)(su0), (6.7) bunda
lim (t)  0, lim (s)  0.
tx0 su0
Murakkab funksiya  (x)  F( f (x)) ning, x0 nuqtadagi orttirmasi  (t) (x0) ni yuqoridagi (6.6) va (6.7) munosabatlardan foydalanib, quyidagicha yozish mumkin:
 (t)  (x0)  F( f (t))  F( f (x0))  F(u0)( f (x0)(t x0)  (t)(t x0)) ( f (t))( f (t)  f (x0))  F(u0) f (x0)(t x0) 
F(u0)(t)(t x0) ( f (t))( f (t)  f (x0)).
Endi bu tenglikning har ikki tomonini t x0 ga bo’lib, so’ngra t x0 da limitga o’tamiz:
 (t)  (x0) lim 
tx0 t - x0
f (t)  f (x0).
F(u0) f (x0)  F(u0) tlimx0 (t)  tlimx0 ( f (t)) tlimx0 t - x0
Bundan t x0 da  (t) 0, ( f (t)) 0 ekanini e’tiborga olsak, (6.5) formula kelib chiqadi. ►
3−§. Hosila hisoblashning sodda qoidalari.

Elementar funksiyalarning hosilalari


Biz ushbu paragrafda ikki funksiya yig’indisi, ayirmasi, ko’paytmasi va nisbatining hosilalarini topish qoidalarini keltiramiz. So’ngra elementar funksiyalarning hosilalarini hisoblaymiz. f (x) va g(x) funksiyalar (a, b) intervalda aniqlangan bo’lsin.
10. Ikki funksiya yig’indisi hamda ayirmasining hosilasi.
Agar f (x) va g(x) funksiyalarning har biri x(a, b) nuqtada f (x) va g(x) hosilalarga ega bo’lsa, u holda f (x) g(x) funksiya ham x nuqtada hosilaga ega va
( f (x)  g(x))  f (x)  g(x) (6.8)
formula o’rinli bo’adi.
◄ Haqiqatan ham, f (x) va g(x) funksiyalar x(a, b) nuqtada f (x) va g(x) hosilalarga ega bo’lsin:
f (x)  lim f (t)  f (x) , g(x)  lim g(t)  g(x) . tx t x tx t x
Endi F(x)  f (x) g(x) deb belgilab, topamiz:
F(t) F(x) f (t) f (x) g(t) g(x)

  . t x t x t x
Bu tenglikda t x da limitga o’tsak, quyidagiga ega bo’lamiz:
F(x) lim F(t)  F(x) lim f (t)  f (x) lim g(t)  g(x)
tx t x tx t x tx t x
f (x)  g(x).
Bu esa (6.8) formulani isbotlaydi.►
20. Ikki funksiya ko’paytmasining hosilasi. Agar f (x) va g(x) funksiyalarning har biri x(a, b) nuqtada f (x) va g(x) hosilalarga ega bo’lsa, u holda f (x)g(x) funksiya ham x nuqtada hosilaga ega va
( f (x) g(x))  f (x) g(x) f (x) g(x) (6.9) formula o’rinli bo’ladi.
 (t) (x)
◄  (x)  f (x)g(x) deb belgilab, nisbatni quyidagi t x
 (t)  (x) f (t)  f (x) g (t)  g (x)

g(x)  f (t) t x t x t x
ko’rinishda yozib olamiz. Bu tenglikda t x da limitga o’tib, topamiz:
(x)  lim  (t)t x (x)  limtx f (tt)  xf (x) g(x)  limtx g (t)t  xg (x) f (t)  t x  
g(x)lim f (t) f (x) lim f (t)lim g (t) g (x) g(x) f (x)  f (x) g(x).
tx t x tx tx t x
Bu esa (6.9) formulani isbotlaydi.►
30. Ikki funksiya nisbatining hosilasi. Agar f (x) va g(x) funksiya-larning har biri x(a, b) nuqtada f (x) va g(x) hosilalarga ega f (x) bo’lib, g(x)  0 bo’lsa, u holda funksiya ham x nuqtada hosilaga g(x)
ega va

f (x) f (x)g(x) f (x)g(x)
 g(x) g2(x) (6.10) formula o’rinli bo’ladi.
◄ (6.10) formulani isbotlashdan avval funksiya hosilasi ta’rifidan
foydalanib, 1 (g(x)  0) funksiyaning x(a, b) nuqtadagi hosilasini g(x)
hisoblaymiz:
1 1 g(x)  g(t)
 
 1  g(t) g(x) g(t)g(x)
 g(x)   limtx t x  limtx t x
g(x1)  limtx g(t)t  gx(x)  limtx g1(t)   gg2((xx)) .
Demak,

 1  g(x)
g(x)    g2(x) (g(x)  0). (6.11)
Endi (6.9) va (6.11) formulalardan foydalanib topamiz:
  
f (x)  1  1  1 
 g(x)    f (x) g(x)  f (x) g(x)  f (x) g(x) 

f (x) f (x)g(x) f (x)g(x)  f (x)g(x)
g(x)  g2(x)  g2(x) .
Bu (6.10) formulaning o’rinli ekanini isbotlaydi.►
1−natija. 1). Yuqorida keltirilgan (6.8) va (6.9) formulalar yordamida qo’shiluvchilar hamda ko’paytuvchilar soni ixtiyoriy chekli bo’lgan holda ham tegishli formulalarni isbotlash mumkin.
2). (6.9) formuladan g(x)  c, c const bo’lganda
(cf (x))  cf (x)
formula kelib chiqadi. Bundan o’zgarmas sonni hosila ishorasidan tashqari-ga chiqarish mumkinligi kelib chiqadi.

Download 243,95 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish