Funksional ketma-ketliklar va ularning yaqinlashuvchanligi

n  x²
,  funksional ketma-

ketlikning aniqlanish sohasi, yaqinlashish sohasi va limit funksiyasini toping.
Yechish. Berilgan funksional ketma-ketlikning umumiy hadi u_n(x)=

1
n  x²
bo„lib, aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlar to„plamidan iborat.

Bu funksional ketma-ketlikning yaqinlashish sohasi ham barcha haqiqiy sonlar to„plamidan iborat ekanligini ko„rish qiyin emas. Funksional ketma- ketlikning limit funksiyasi f(x)=0
bo„ladi, chunki lim ¹ =0.
n _{n  x}²

1. 
   rasmda bu ketma-ketlikning bir nechta hadlari va limit funksiyasining grafiklari keltirilgan.
   

1-rasm

2. 
   misol. sinx, 2sin ^x , 3sin ^x , , nsin ^x ,  funksional ketma-
   

2 3 n
ketlikning aniqlanish sohasi, yaqinlashish sohasi va limit funksiyasini toping.
Yechish. Funksional ketma-ketlikning umumiy hadi u_n(x)= nsin ^x
n
bo„lib, aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlar to„plamidan iborat. Bu ketma-ketlik haqiqiy sonlar to„plamida f(x)=x funksiyaga yaqinlashadi. Haqiqatdan ham, haqiqiy sonlar to„plamidan olingan ixtiyoriy x da ushbu munosabat o„rinli:

lim nsin ^x = lim

sin ^x
n  x  x  lim
sin ^x
n

 x 1  x .

n
_n n x
^n x

n n

3. 
   misol. Umumiy hadi u_n(x)=nx² bo„lgan funksional ketma- ketlikning aniqlanish sohasi, yaqinlashish sohasi va limit funksiyasini toping.
   

Yechish. Bu funksional ketma-ketlikning aniqlanish sohasi (-;+)

dan iborat. Agar x0 bo„lsa,
lim nx²  bo„ladi. Agar x=0 bo„lsa, ravshanki
n

limit 0 ga teng bo’ladi. Demak, berilgan funksional ketma-ketlikning yaqinlashish sohasi {0} to„plamdan, bu to„plamda limit funksiya f(x)=0 dan iborat.

4. 
   
    
   misol. Ushbu ^
   

n! _
funksional ketma-ketlikni yaqinlashishga

tekshiring.

^ x²  n ^

Yechish. Bu ketma-ketlikning aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlar to„plamidan iborat. Lekin x ning istalgan qiymatida ketma-ketlik
uzoqlashuvchi bo„ladi, chunki lim ^n!  . Demak, bu ketma-ketlikning

n _x² _{ n}
yaqinlashish sohasi bo„sh to„plamdan iborat, u hech qanday funksiyaga
yaqinlashmaydi.

5. 
   misol. Ushbu _xⁿ_ ketma-ketlikni yaqinlashishga tekshiring.
   

Yechish. Ketma-ketlik hadlari (-;+) da aniqlangan. Agar, masalan,

x= ¹
3
bo„lsa, u holda
 ¹ 

₃n
 
 
ketma-ketlik yaqinlashuvchi va limiti nolga teng

bo„ladi. demak, x= ¹
3
ketma-ketlikning yaqinlashish sohasiga tegishli.

Shunga o„xshash, agar x=3 bo„lsa, u holda _3ⁿ_
ketma-ketlik

uzoqlashuvchi bo„ladi. Demak, x=3 ketma-ketlikning yaqinlashish sohasiga tegishli emas.
Umuman olganda, agar |x|<1 bo„lsa, _xⁿ_ ketma-ketlik
yaqinlashuvchi va limiti 0 ga teng bo„ladi. Shuningdek, _xⁿ_ ketma-ketlik
x=1 nuqtada ham yaqinlashuvchi, lekin bu nuqtada limit 1 ga teng bo„ladi.
Agar x=-1 bo„lsa, u holda _(1)ⁿ_ ketma-ketlik uzoqlashuvchi bo„ladi. Shuningdek, agar |x|>1 bo„lsa, _xⁿ_ ketma-ketlik uzoqlashuvchi bo„ladi.
Shunday qilib, ketma-ketlikning yaqinlashish sohasi (-1;1] oraliqdan iborat bo„lib, bunda u

funksiyaga yaqinlashadi.
_{f (x)  }0, agar

^ 1, agar

1  x  1 bo'lsa,
x  1 bo'lsa

2-rasmda _xⁿ_

2-rasm


ketma-ketlikning [0,1] kesmadagi dastlabki bir nechta


hadlarining va limit funksiyasining grafiklari keltirilgan.

2.2 Darajali qatorning xossalari
Teylor qatori

Aytaylik, funksiya nuqtaning biror

Atrofida istalgan tartibdagi hosilaga ega bo’lsin. Bu hol funksiyaning Teylor formulasini yozish imkonini beradi:
,
Bunda -qoldiq had.
Modomiki, funksiya da istalgan tartibdagi hosilaga ega ekan, unda
(1)
Darajali qatorni qarash mumkin bo’ladi.
(1) darajali qatorning koeffitsiyentlari sonlar bo’lib, ular funksiya va uning hosilalarining nuqtadagi qiymatlari orqali ifodalangan.
(1) darajali qator funksiyaning Teylor qatori deyiladi.
Xususan, bo’lganda (1) darajali qator ushbu

ko’rinishga keladi.
Faraz qilaylik, funksiya biror da istalgan tartibdagi hosilaga ega bo’lib, uning nuqtadagi Teylor qatori
(2)
bo’lsin. Bu qatorning qoldiq hadini deylik:
.
1-teorema. (2) darajali qator da ga yaqinlashishi uchun ushbu

Teylor formulasida, uchun

bo’lishi zarur va yetarli.
zarurligi. Aytaylik, (2) darajali qator da yaqinlashuvchi, yi\indisi bo’lsin. Ta’rifga binoan

Bo’ladi, bunda

Ravshanki, da bo’lishidan

bo’lishi kelib chiqadi.
Yetarliligi. Aytaylik, da bo’lsin. U holda

bo’lib, undan

bo’lishi kelib chiqadi. Demak,

Bo’ladi. ►

Odatda, bu munosabat o’rinli bo’lsa, funksiya Teylor qatoriga yoyilgan deyiladi.