Funksiya uzluksizligi. Uzlukli funksiyalar. Mustaqil yechish uchun misollar Ta’rif

FUNKSIYA UZLUKSIZLIGI. UZLUKLI FUNKSIYALAR. Mustaqil yechish uchun misollar

Ta’rif. Agar x₀ nuqtaning biror atrofida (x₀ nuqtaning o’zida ham) y=f(x) funksiya aniqlangan bo'lsa va agar
(1)
bo‘lsa, x=x₀ qiymatda (yoki x₀ nuqtada) funksiya uzluksiz deyiladi. (1)ifodaning uzluksizlik shartini bunday yozish mumkin:
yoki .
x₀ nuqtada uzluksiz f(x) va g(x) funksiyalar bo‘lsa, u holda x₀ nuqtada quyidagi funksiyalar ham uzluksiz bo‘ladi:

1. 
   f(x)+g(x)
   
2. 
   k f(x) (k-o‘zgarmas)
   
3. 
   
   
4. 
   (g(x₀) 0)
   

Agar f(x) funksiya kesmada uzluksiz bo‘lsa va kesmaning chetki nuqtalarida turli ishorali qiymatlarga erishsa ( ), u holda (a; b) internalga tegishli kamida bitta c nuqta topiladiki, f(c)=0 tenglik bajariladi.
Agar f(x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz bo‘lmasa, funksiya x₀ nuqtada urilishga ega yoki x₀ nuqta uning uzilish nuqtasi deyiladi.
y=f(x) funksiyaning x₀ nuqtada chapdan va o‘ngdan limitlari mavjud bo‘lib, o‘zaro teng bo‘lmasa, ya’ni
,
u holda x₀ nuqta funksiyaning birinchi tur urilish nuqtasi deyiladi.
Agar x₀ nuqtada funksiyaning chapdan va o‘ngdan limitlari f(x₀-0) va f(x₀+0) lar o‘zaro teng bo‘lib, funksiyaning x₀ nuqtada erishadigan qiymati f(x₀) dan farq qilsa, unda x₀ nuqta bartaraf etilishi mumkin uzilish nuqtasi deb ataladi.
y=f(x) funksiyaning x₀ nuqtada chapdan yoki o‘ngdan limitlarining biri mavjud bo‘lmasa (xususan, cheksiz bo‘lsa), u holda x₀ nuqta funksiyaning ikkinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi.
1. Quyidagi funksiyalarning ko‘rsatilgan nuqtalarida bir tomonli limitlarini toping:
a) f(x)= x=1 nuqtada


b) x=1 x=2 nuqtalarda
c) ning kasr qismi; x=1, x=2, x=3 nuqtalarda
d) nuqtada


Mustaqil yechish uchun misollar
2. Quyidagi funksiyalarning uzluksizligini ta’rifga binoan isbotlang.
a) barcha larda


Demak, f(x) barcha larda uzluksiz.
b) barcha larda
c) , barcha larda
Quyidagi funksiyalarning uzilish nuqtalari va ularning turlarini aniqlang. Grafiklarini yasang:
3.
f(x) funksiya va intervallarda aniqlangan va uzluksiz bo‘lgan elementar funksiyalar bilan berilgan. Demak, faqat nuqtalarda uzulishga ega bo‘lishi mumkin.
nuqta uchun chap va o‘ng limitlarni hisoblaymiz:

Bu esa nuqtada f(x) fuksiya birinchi tur uzilishga ega bo‘lishini bildiradi. nuqta uchun:
bo‘ladi.
nuqtada funksiya 1-tur uzilishga ega bo‘ladi.
4. 5.
6. 7.
8. 9.
10. 11.
12.

Funksiyalarning uzilish nuqtalarini toping va uzilish turlarini aniqlang:

13. 14.
15. 16.
Quyidagi tenglamalar ko‘rsatilgan kesmalarda yechimga ega ekanligini ko‘rsating:
17. a) kesmada. Bu funksiya da uzluksiz. Kesmaning uchlaridagi qiymatlari bo‘lib, turli ishorali. Boltsano – Koshi teoremasiga binoan (-1; 0) da biror c nuqta topib bo‘lib, c berilgan tenglamalarning yechimi bo‘ladi.
b)
c) ;
d)
18. Quyidagi funksiyalar ko‘rsatilgan kesmalarda chegaralanganligini isbotlang:
a)
funksiyalarning har biri da uzluksiz bo‘lganligi uchun, funksiya ham [0;10] da uzluksiz. Shuning uchun Veyershtrass teoremasiga binoan f(x) funksiya [0;10] da chegaralangan.
b)
c)
19. Bir tomonlama limitlarini toping:
a) nuqtada
b) y=[x], [x] – x ning butun qismi
x=-2, x=0 , x=1 nuqtalarda
c) nuqtada.
20. Funksiyalarning uzluksizligini ta’rifga binoan izbotlang:
a)
b)

Quyidagi funksiyalarning uzilish nuqtalari va uzilish turlarini aniqlang:

21. 22.

24. 25.