Funksional ketma-ketliklar va ularning yaqinlashuvchanligi

Funksiyani Teylor qatoriga yoyish. Faraz qilaylik, funksiya biror da istalgan tartibdagi hosilalarga ega bo’lsin.
2-teorema. Agar da

Bo’lsa, funksiya da Teylor qatoriga yoyiladi:

Ma’lumki, funksiyaning Lagranj ko’rinishidagi qoldiq hadli Teylor formulasi quyidagicha bo’ladi:

,
Bunda,
.
Teoremaning shartidan foydalanib topamiz:
.
Ravshanki,
.
Demak, da

Bo’lib, undan qaralayotgan funksiyaning Teylor qatoriga yoyilishi kelib chiqadi.
Elementar funksiyalarni Teylor qatoriga yoyish.
A) Ko’rsatkichli va giperbolik funksiyalarni Teylor qatorlarini topamiz. Aytaylik,

bo’lsin. Ravshanki, bo’lib, da

bo’ladi. Binobarin, 2-teoremaga ko’ra funksiya da Teylor qatoriga yoyiladi va (3) formulada foydalanib topamiz:
. (4)
ixtiyoriy musbat son. Demak, (4) darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo’ladi.
(4) munosabatda ni ga almashtirib topamiz:

Ma’lumki giperbolik sinus hamda giperbolik kosinus funksiyalari quyidagicha

ta’riflanar edi.
Yuqoridagi
,

formulalardan foydalanib topamiz:
,
.
Bu funksiyalarining Teylor qatorlari bo’lib, ular ifodalangan darajali qatorlarning yaqinlashish radiuslari bo’ladi.
B) Trigonometrik funksiyalarning Teylor qatorlarini topamiz. Aytaylik, bo’lsin. Ravshanki, da

Bo’lib, bo’ladi. Demak, 2-teoremaga ko’ra funksiya Teylor qatoriga yoyiladi va (3) formulaga binoan
(5)
bo’ladi.
Aytaylik,

bo’lsin. Bu funksiya uchun da

bo’lib,

bo’ladi. Unda 2–teoremaga ko’ra funksiya Teylor qatoriga yoyiladi va (3) formulaga binoan
(6)
bo’ladi.
(5) va (6) darajali qatorlarning yaqinlashish radiusi bo’ladi.
V) logarifmik funksiyaning Teylor qatorini topamiz. Aytaylik,

bo’lsin. Ma’lumki,

bo’lib,

bo’ladi. Bu funksiyaning Teylor formulasi
(7)
ko’rinishga ega.
funksiyani Teylor qatoriga yoyishda 1-teoremadan foydalanmiz. Buning uchun (7) formulada ning 0 ga intilishini ko’rsatish yetarli bo’ladi.
Aytaylik, bo’lsin. Bu holda lagranj ko’rinishida yozilgan

Qoldiq had uchun

bo’ladi va

tenglik bajariladi.
Aytaylik, bo’lsin, bunda .
Bu holda Koshi ko’rinishida yozilgan

qoldiq had uchun

bo’lib,

bo’ladi.
Demak,
.
Unda 1-teoremaga ko’ra
(8)
bo’ladi.
(8) darajali qatorning yaqinlashish radiusi ga teng.
Agar yuqoridagi ning yoyilmasida ni ga almashtirilsa, unda

formula kelib chiqadi.
G) darajali funksiyaning teylor qatorini topamiz.
Aytaylik,

bo’lsin. Ma’lumki,

bo’lib,

bo’ladi. Bu funksiyaning Teylor formulasi ushbu

Ko’rinishga ega.
Endi da bo’lishini ko’rsatamiz.
Ma’lumki, Teylor formulasidagi qoldiq hadning Koshi ko’rinishi quyidagicha

bo’lar edi.
Aytaylik, bo’lsin. Bu holda:
1) bo’ladi,
Chunki, limit ishorasi ostidagi ifoda yaqinlashuvchi ushbu

Qatorning umumiy hadi;
2) ;
3)
bo’ladi. Bu munosabatlardan foydalanib, da

Bo’lishini topamiz. 1-teoremaga ko’ra
(9)
bo’ladi.
Bu darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo’lganda 1 ga teng: .
(9) munosabatda deb olinsa, unda ushbu

formula hosil bo’ladi. Bu formulada ni ga almashtirib topamiz: