Fizika-matematika fakulteti ko‘p o‘zgaruvchili funksiya ekstremumini mavjudligining zaruriy va yetarli sharti. Shartli ekstremum

Murakkab funksiya hosilasi va differensiali
y = f (u) va u = g(x) funksiyalarning superpozitsiyasidan iborat y = f [g(x)] murakkab funksiya berilgan bo‘lsin.
Agar u = g(x) funksiya x₀ nuqtada differensiallanuvchi, o‘z navbati-da y = f (u) funksiya u₀ = g(x₀) nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda y = f [g(x)] murakkab funksiya ham x₀ nuqtada differensiallanuv-chi bo‘ladi va yoki y(x₀) = f (u₀) · g(x₀).
Murakkab funksiyaning erkli o‘zgaruvchi bo‘yicha hosilasi, shu funksiyani tashkil etgan (superpozitsiyalanuvchi) funksiya hosilalarining ko‘paytmasiga teng.
Murakkab funksiya differensiali uchun dy = y(x₀) · dx = f (u₀) · du tengliklar o‘rinli, bu yerda du = g(x₀) · dx. Murakkab funksiya birinchi tartibli differensialini hisoblash uchun uning biror o‘zgaruvchi bo‘yicha hosilasini shu o’zgaruvchining differensialiga ko‘paytirish yetarli. Bun-da differensialni hisoblash shakli o‘zgarishsiz qolib, o’zgaruvchilarning tanlanilishiga yoki ularning erkli yoki erksizligiga bog‘liq emas.
2.2 Shartli ekstremum masalalari. Izoperimetrik masalalar.
Izlanayotgan funktsiyalarga chegaraviy shartlar bilan bir qatorda boshqa qo’shimcha shartlar ham qo’yilgan variatsion hisob masalalari shartli ekstremum masalalari deyiladi.
Bir necha funktsiyalarga bog’liq bo’lgan funktsionalning ekstremumi haqidagi masalani o’rganamiz:
(10)
funktsionalning
(11)
chegaraviy shartlarni va qo’shimcha
(12)
shartlarni qanoatlantiruvchi ekstremumini toping.
Variatsion hisobning bu masalasi Lagranj masalasi deyiladi.
Lagranj funktsiyasi deb ataluvchi funktsiyani tuzamiz:


(13)
bu erda - ixtiyoriy funktsiyalar bo’lib, ular Lagranj ko’paytuvchilari deyiladi.
Lagranj masalasini echishda (10) funktsionalning ekstremumi uchun quyidagi zaruriy shartdan foydalanamiz.
Teorema 3. Agar funktsiyalar (11) va (12) shartlar bajarilganda (10) funktsionalga ekstremum qiymat bersa, u holda shunday Lagranj ko’paytuvchilari topiladiki, bunda mos Lagranj funktsiyalari

funktsional uchun yozilgan Eyler tenglamalari sistemasini qanoatlantiradi:
. (14)
3-teorema yordamida funktsionalning shartli ekstremumi haqidagi masala funktsionalning (12) qo’shimcha shartlarsiz ekstremumini topish masalasiga keltiriladi.
3-teoremani qo’llash chog’ida Lagranj masalasini echish uchun zarur bo’lgan izlanayotgan funktsiyalar va , Lagranj ko’paytuvchilari (14) va (12) ko’rinishdagi ta tenglamali tenglamalar sistemasidan aniqlanadi.
Misol 4. Quyidagi Lagranj masalasida funktsionalga ekstremum berishi mumkin bo’lgan funktsiyalarni toping:


Echish. Bu masala uchun Lagranj funktsiyasi

ko’rinishiga ega. va funktsiyalarni topish uchun, (14) ko’rinishdagi Eyler tenglamasi va

tenglamalardan iborat sistemani tuzamiz.
Bu sistemadan avvalo funktsiyani, so’ngra funktsiyani yo’qotib tenglamani tuzamiz. ni z bilan belgilaymiz: . Bu tenglamaning umumiy echimi

Bundan ketma-ket topamiz:

Endi o’zgarmaslarni topish uchun quyidagi tenglamalar sistemasini tuzamiz:

Bundan , ya’ni mazkur masalada funktsional

funktsiyalarda ekstremumga erishishi mumkin.