Fizika-matematika fakulteti analitik geometriya fannidan

Skalyar ko‘paytmaning ayrim tatbiqlari

1. Ikki vektor orasidagi burchak.

j bz k

a ax i ay j az k va b bx i by

bo‘lsin.

vektorlar orasidagi burchaka,b

U holda

cos

ab

yoki

| a ||

b |

ax bx ay by az bz

cos

.

(2.3)

a^2 a^2

a^2

b^2 b^2

b^2

x

y

z

x

y

z

l1 ( 1 ; 1 ; 1 ) va l2 ( 2 ; 2 ; 2 ) yo‘nalishlar orasidagi burchak uchun

cos cos 1 cos 2

cos 1 cos 2

cos 1 cos 2

74

F {2; 1; 3}

2. Ikki vktorning perpendikularlik sharti. a b bo‘lsin.

U holda

			a x bx	a y by a z bz 0 .						(2.4)
l1 va l2 yo‘nalishlarning perpendikularlik sharti
cos 1 cos 2 cos 1 cos 2 cos 1 cos 2								0.
3.Vektorning berilgan yo‘nalishdagi proyeksiyasi:
					axbx ay by az bz
	ab		yoki							.
Пр a				Пр a
b	| b |			b		b2	b^2 b^2
						x	y	z
4. Kuchning bajargan ishi:				A F S cos			yoki		A FS , bu yerda

F, S , ya’ni moddiy nuqtaning to‘g‘ri chiziqli harakatida o‘zgarmas kuchning bajargan ishi kuch vektori va ko‘chish vektorining skalyar ko‘paytmasiga teng.

4 misol. Moddiy nuqta A(1; 2;2) nuqtadan B(5; 5; 3) nuqtaga kuch ta’sirida to‘g‘ri chiziq bo‘ylab ko‘chgan. Quyidagilarni

toping: 1) F kuchning bajargan ishini; 2) F kuchning ko‘chish yo‘nalishidagi proyeksiyasini; 3) F kuchning ko‘chish yo‘nalishi bilan tashkil qilgan burchagini.
Moddiy nuqta ko‘chish vektorini, uning va F kuchning uzunligini topamiz:
S AB {4;3;5},|S| 16 9 25 5 2,|F| 4 1 9 14.

U holda:

0. 
   A FS 2 4 ( 1) ( 3) ( 3) ( 5) 26 (ish b.);
   

			FS		26							13
2)																2
	ПрS F																			;
								2
			| S |		5							5
3)	cos		^FS									26													13	7		,	arccos	13	7		.
	|F| |S| 5 2 14																						35						35
5 misol.
			m a 2b									va n 5a 4b o‘zaro perpendikular vеktorlar bo‘lsa

0. 
   va b birlik vеktorlar qanday burchak tashkil qiladi?
   

m n bo‘lgani uchun (a 2b) (5a 4b) 0 bo‘ladi.
Bundan
			yoki
5a	2	6ab 8b ^2 0		5 | a |^2	6 | a | | b | cos 8 | b |^2 0.

75

| c | | a | | b | sin ,

c b ;

j,i ,k

0. 
   va b birlik vеktorlar bo‘lgani sababli: 5 6cos 8 0. Bundan
   

cos ¹ yoki .

2 3
2.2.2. Agar komplanar bo‘lmagan vеktorlar tartiblangan uchligining uchinchi vеktori uchidan qaralganda birinchi vеktordan ikkinchi vеktorga eng qisqa burilish soat strelkasi yo‘nalishga tеskari bo‘lsa, bunday uchlikka o‘ng uchlik, agar soat strelkasi yo‘nalishida bo‘lsa chap uchlik dеyiladi.

Masalan, i , j , k vеktorlar o‘ng uchlik, vеktorlar chap uchlik tashkil
qiladi.

0. 
   vеktorning b vеktorga vеktor ko‘paytmasi dеb quyidagi shartlar bilan
   

aniqlanadigan с vеktorga aytiladi:

1) с vеktor а va b vеktorlarga perpendikular, ya’ni c a va

2) с vеktorning uzunligi son jihatidan tomonlari а va b vеktorlardan

iborat bo‘lgan parallelogrammning yuziga teng, ya’ni

bu yerda			;
	a,b
3)
	a	,b,c vektorlar o‘ng uchlik tashkil qiladi.
а va b vеktorlarning vеktor ko‘paytmasi
							a b yoki [a,b] kabi bеlgilanadi.