Fizika-matematika fakulteti analitik geometriya fannidan

Kооrdinatalari bilan bеrilgan vеktоrlar ustida amallar
2.1.1. Tayin uzunlikka va yo‘nalishga ega bo‘lgan kesma vektor deb ataladi va AB yoki a kabi belgilanadi. Bunda A nuqtaga vektorning boshlang‘ich nuqtasi, B nuqtaga uning oxirgi nuqtasi deyiladi. BA vektor AB vektorga qarama-qarshi vektor hisoblanadi. a vektorga qarama-qarshi vektor ( a ) bilan belgilanadi.

A B kesmaning uzunligiga AB vektorning uzunligi yoki moduli deyiladi va | AB | ko‘rinishda belgilanadi.

Uzunligi birga teng vektorga birlik vektor deyiladi va e orqali belgilanadi. a vektor bilan bir xil yo‘nalgan birlik vektorga a vektorning orti

deyiladi va a ⁰ bilan belgilanadi.

Bir to‘g‘ri chiziqda yoki parallel to‘g‘ri chiziqlarda yotuvchi vektorlar

kollinear vektorlar deb ataladi.

a va b vektorlar kollinear, bir xil yo‘nalgan va uzunliklari teng bo‘lsa,

ularga teng vektorlar deyiladi va a b kabi yoziladi. Teng vektorlar erkin

vektorlar deb yuritiladi. Vektorni fazoning ixtiyoriy nuqtasiga o‘z-o‘ziga

parallel ko‘chirish mumkin.

Bir tekislikda yoki parallel tekisliklarda yotuvchi vektorlar komplanar

vektorlar deb ataladi.
a va b	vektorlar yig‘indisi deb a va b vektorlar	bilan komplanar
	vektorga aytiladi. Ikki vektorning yig‘indisi	uchburchak yoki
bo‘lgan a b

parallelogramm qoidalari bilan topiladi.
Bir nechta vektorni uchburchak usuli bilan ketma-ket qo‘shib borish mum-kin.

Bir nechta vektorni bunday qo‘shish usuliga ko‘pburchak qoidasi deyiladi.

a va b	vektorlarning		ayirmasi deb, b vektor bilan yig‘indisi a
		vektor tushuniladi.
vektorni beradigan a b
a vektorning0 songa ko‘paytmasi deb, a vektorga kollinear, uzunligi
| | | a | ga teng bo‘lgan,		0	bo‘lsa a vektor bilan bir xil yo‘nalgan, 0

bo‘lganda a vektorga qarama-qarshi yo‘nalgan a vektorga aytiladi.

Agar

aksincha, agar a a 0 va b vektorlar kollinear bo‘lsa, u holda biror son
uchun b a bo‘ladi.

a | a | a 0 , ya’ni har bir vektor uzunligi bilan ortining ko‘paytmasiga teng bo‘ladi.

1 misol.	ABCD	to‘g‘ri		to‘rtburchakning				tomonlari		AB 3,	AD 4.
M DC tomonning o‘rtasi, N CB tomonning									D	M	C
o‘rtasi (3-shakl). AM , AN, MN				vektorlarni mos
										.
ravishda AB va AD tomonlar bo‘ylab yo‘nalgan
i va j birlik vektorlar orqali ifodalang.
a | a | a 0 bo‘lishidan, topamiz:											. N
AB | AB | i 3i ,			AD | AD | j 4 j.
3-shaklga ko‘ra									j
	1		1		3
DM MC		DC		AB		i ,
	2		2		2				A	i	B
BN NC ^1 BC ^1 AD 2 j .										1-shakl.
	2		2
Vektorlarni qo‘shish qoidasi bilan topamiz:
					3
AM AD DM 4 j						i ;	AN AB BN 3i 2 j;
					2		3
	MN MC			CN MC
							NC	i 2 j.
							2
2.1.2. 1a1	2 a2 ... n an				ifodaga		a1 ,a2 ,...,an		vektorlarning

kombinatsiyasi deyiladi, bunda ₁ , ₂ ,..., _n tayin sonlar.
Agar a₁ ,a₂ ,...,a_n vektorlar uchun kamida bittasi nolga teng
bo‘lmagan shunday ₁ , ₂ , , _n sonlar topilsaki, bu sonlar uchun
₁a_{1 2} a₂ ... _n a_n 0 tenglik bajarilsa, u holda a₁ ,a₂ ,...,a_n vektorlarga
chiziqli bog‘liq vektorlar deyiladi.

Agar ₁a_{1 2} a₂ ... _n a_n 0 tenglik faqat _{1 2} ... _n 0 bo‘lganda o‘rinli bo‘lsa, u holda, a₁ ,a₂ ,...,a_n vektorlarga chiziqli erkli vektorlar

deyiladi.

Ikkita vektor chiziqli bog‘liq bo‘lishi uchun ular kollinear bo‘lishi zarur va yetarli.

Uchta vektor chiziqli bog‘liq bo‘lishi uchun ular komplanar bo‘lishi zarur va yetarli.

Agar Rⁿ fazoda ixtiyoriy a vektorni n ta chiziqli erkin e₁ ,e₂ ,...,e_n vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalash mumkin bo‘lsa, ya’ni

a 1e1 2e2	... n en	tenglik	bajarilsa, u holda		e1 ,e2 ,...,en vektorlar R^n
fazoning bazisi deb ataladi.
a 1e1	2e2 3e3	tеnglikka		a vеktоrning	e1 ,e2 ,e3	bazis bo‘yicha
yoyilmasi,	1 , 2 , 3 sonlarga		a	vеktоrning e1 , e2 , e3		bazisdagi affin

kооrdinatalari dеyiladi.

	Uch o‘lchоvli R^3 fazоda kоmplanar								D
bo‘lmagan			e1 ,e2 ,e3 vеktоrlar			bazis	tashkil
qiladi. Ikki o‘lchоvli R^2					fazоda kоllinеar
bo‘lmagan e1 ,e2 vеktоrlar bazis tashkil etadi.
2 misol.			Uchburchakli			muntazam
piramidada		AB, AC, AD A uchning					qirralari,
DO D uchdan tushirilgan balandlik (2-shakl).								e3	e2
Agar e1 ,e2 ,e3		mos ravishda AB, AC, AD qirralar
									O
bo‘ylab	yo‘nalgan			vektorlar		bo‘lsa, DO		A
									e1
vektorning e1 ,e2 ,e3 bazis bo‘yicha yoyilmasini
toping.									B
Vektorlarni					songa	ko‘paytirish			2-shakl.
amalining		xossasiga			asoslanib,		topamiz:
	AC			AD				haqiqiy sonlar.