Федеральное агенство по образованию

2.2.3. Решение неоднородной начально-краевой задачи
Пусть уравнение и все краевые условия (граничные и начальные) неоднородны и имеют вид:
, (2.49)
граничные условия
, (2.50)
начальные условия
. (2.51)
Принимаем
, (2.52)
где функция ищется в виде линейной функции: w(x, t) = kx + b, а коэффициенты k и b определяются из граничных условий (2.50):
,
откуда следует k = [β(t) – α(t)]/l. Поэтому
. (2.53)
При этом, как легко убедиться, для функции v(x, t) получаются однородные граничные условия:
. (2.54)
Подставляя (2.52) с учетом (2.53) в уравнение (2.49), приходим к неоднородному уравнению относительно функции v(x, t)
. (2.55)
Начальные условия для функции запишутся в виде
. (2.56)
Таким образом, отыскание функции v(x, t) сведено к задаче (2.54–2.56), которая решается с использованием приёма редукции (см. п. 2.2.2). Найдя функцию v(x, t) и подставляя её в (2.52), получим окончательное решение исходной задачи (2.49–2.51).


2.3. Уравнения параболического типа
2.3.1. Решение однородного уравнения параболического типа
Пусть требуется найти закон распределения температуры в однородном стержне длиной l (боковая поверхность которого теплоизолирована), если в начальный момент времени распределение температуры по длине стержня подчиняется заданному закону (см. ниже выражение (2.59)). На концах стержня поддерживается посто­янная нулевая температура.
Задача сводится к решению однородного уравнения теплопроводности
(2.57)
при однородных граничных условиях
(2.58)
и принятом начальном условии
(2.59)
В уравнении теплопроводности (2.57) a² = k/cρ – коэффициент темпе­ратуропроводности (k – коэффициент теплопроводности, c – удельная теплоемкость, ρ – удельная плотность материала стержня).