Федеральное агенство по образованию

2.3.2. Решение уравнения теплопроводности для
случая стационарной неоднородности
Рассмотрим линейную задачу теплопроводности для случая, когда на концах стержня поддерживаются постоянные (не зависящие от времени) и различные ненулевые температуры
, (2.71)
а начальное условие имеет вид
. (2.72)
Чтобы можно было воспользоваться методом разделения переменных, необходимо свести исходную краевую задачу (2.57), (2.71), (2.72) к такой, в которой граничные условия будут одно­родными. Для этого введем новую функцию v(x, t), связанную с ис­комой функцией u(x, t) соотношением
, (2.73)
где k и b – постоянные коэффициенты, которые подбираются из ус­ловий
.
Тогда при
и (2.74)
имеем
. (2.75)
Так как из (2.73) следует, что
,
то функция v(x, t) удовлетворяет дифференциальному уравнению
. (2.76)
Подстановка же (2.73) с учетом (2.74) в начальное условие (2.72) приводит его к виду
. (2.77)
Итак, для определения функции v(x, t) приходим к начально-крае-вой задаче (2.75), (2.76), (2.77) с однородными граничными условиями относительно функции Решение её методом разделения переменных будет иметь вид (см.(2.64))
, (2.78)
где
. (2.79)
В результате искомая функция u(x, t) будет равна
.
2.4. Уравнения эллиптического типа
2.4.1. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольной области
Пусть требуется найти решение однородного уравнения эллиптического типа – уравнения Лапласа в прямоугольной области (см. рис. 2.1)
, (2.80)
удовлетворяющее граничным условиям
,
(2.81)
.
Здесь U₀(x) и U₁(x) – заданные функции от x, непрерывные на промежутке и обращающиеся в нуль при x = 0 и x = a.

Рис.2.1.
На рис.2.1 жирными линиями показаны границы области, для которых граничные условия являются неоднородными.