Федеральное агенство по образованию

Замечание. В общем случае начальное условие может быть записано в виде u(x, 0) = T₀(x), где функцией T₀(x) задаётся рас­пределение температуры по длине стержня в начальный момент времени.
Решение начально-краевой задачи (2.57–2.59) строится ме­тодом разделения переменных так же, как и решение волнового уравнения (см.п.2.2.1). Искомая функция u(x, t) представляется в виде (2.6). Подстановка (2.6) в уравнение (2.57) приводит к ра­венству, аналогичному по структуре (2.7)
,
из которого после обычных рассуждений, характерных для метода разделения переменных следует, что обе части равенства не зави­сят ни от x, ни от t и, следовательно, являются постоянными.
Обозначая, как и выше, эту постоянную через , то есть принимая
, (2.60)
получим два независимых обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнения
,
(2.61)
.
В отличие от волнового уравнения здесь для функции T(t) получается уравнение первого порядка. Подстановка (2.6) в граничные условия (2.58) приводит после разделения переменных к граничным условиям для функции X(x) в виде (2.10).
В результате, для определения функции X(x) приходим к той же самой задаче на собственные значения (2.9–2.10), что и при решении волнового уравнения. Собственные значения λ_n и собственные функции этой задачи X_n(x) определяются соответственно по формулам (2.14) и (2.15).
Подставляя (2.14) в (2.61), получаем линейное дифференциальное урав­нение первого порядка
. (2.62)
Разделяя переменные в уравнении (2.62) и интегрируя, находим его общее решение в виде
, (2.63)
где A_n – произвольная постоянная.
Подставляя найденные функции X_n(x) и T_n(t) в (2.6) и суммируя частные решения линейного однородного уравнения (2.57), получим общее решение однородного уравнения теплопроводности в виде
. (2.64)
Произвольную постоянную A_n находим далее из начального условия. В общем случае при получим
, (2.65)
При этом произвольная постоянная A_n может быть определена как коэффициент Фурье для функции при разложении еë в ряд по синусам на отрезке [0, l], равном длине стержня. Тогда получим
. (2.66)
Так как в рассматриваемой задаче функция согласно (2.59) имеет разные выражения на [0, l], то
. (2.67)
Подставляя (2.67) в (2.64), окончательно получим
. (2.68)
Как видно из (2.68), решение уравнения теплопроводности носит по времени апериодически затухающий характер, что соответствует выравниванию температуры в стержне с течением времени.
Пример. Найти решение задачи (2.57), (2.58) при начальном условии
. (2.69)
Решение. Общее решение этой задачи (2.64) содержит постоянную интегрирования A_n. Для определения её подставляем (2.69) в (2.66). Получим
. (2.70)
В силу ортогональности тригонометрических функций все интегралы в (2.70) при n ≠ 1 будут равны нулю. При n = 1 получим
.
Подставляя значение константы A_n в (2.64), получим окончательное решение задачи (2.57–2.58), (2.69) в виде
.