Федеральное агенство по образованию

Если задача математической физики поставлена корректно, то её решение существует, единственно и устойчиво к малым изменениям исходных данных.
Ниже рассмотрены примеры решения основных уравнений матема­тической физики различного типа, аналогичных тем, которые встре­чаются в расчётно-графической работе. Решение задач строится ме­тодом Фурье (методом разделения переменных). Этот метод является одним из наиболее общих методов математической физики, пригодным для решения уравнений гиперболического, параболического и эллип­тического типов в различных областях.
2.2. Уравнения гиперболического типа
2.2.1. Решение однородного волнового уравнения
Рассмотрим следующую задачу: найти закон колебания струны длиной l, если в начальный момент струне придана форма параболы
,
а затем струна отпущена без начальной скорости. Струна закреплена на концах. Внешние силы отсутствуют.
Все этапы решения этой конкретной задачи и рассуждения будут носить общий характер.
Задача сводится к решению однородного волнового уравнения
(2.2)
при однородных граничных условиях
(2.3)
и начальных условиях
. (2.4)
В уравнении (2.2) где T – усилие натяжения струны на опорах, а ρ – линейная плотность (масса единицы длины струны). Будем счи­тать, что струна однородна, тогда ρ = const.
Замечание. В общем случае начальные условия могут быть записаны в виде
(2.5)
где U₀(x), V₀(x) – заданные функции, характеризующие соответ­ственно начальные отклонения и начальные скорости точек струны.
Решение начально-краевой задачи (2.2–2.4) строится методом разделения переменных.
Сначала ищется частное ненулевое решение однородного урав­нения (2.2), удовлетворяющее лишь однородным граничным условиям (2.3), в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:
(2.6)
Подставляя (2.6) в (2.2), получим
.