Федеральное агенство по образованию

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ»

Кафедра «Прикладная и вычислительная математика»

имени Э.И.Григолюка

Е.А.Коган

Е.А.Лопаницын
РЯДЫ ФУРЬЕ.
УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
Учебное пособие по дисциплине «Математика»
для студентов всех специальностей

МОСКВА – 2010

УДК 517.91 (075)

Коган Е.А., Лопаницын Е.А. Ряды Фурье. Уравнения математи­ческой физики. Учебное пособие по дисциплине «Математика» для студентов всех специальностей. – 2-е изд., переработанное. М.: МГТУ «МАМИ», 2010. 96 с.: илл. 10.

Настоящее учебное пособие является руководством к решению задач по разделам дисциплины «Математика», посвящённым рядам Фурье и уравнениям математической физики. Оно содержит краткие теоретические сведения, примеры решения типовых задач и варианты расчетно-графической работы по рядам Фурье и уравнениям матема­тической физики. Пособие предназначено для студентов всех специальностей.

© Коган Е.А., Лопаницын Е.А.

© Московский государственный технический университет
«МАМИ»
2010 г.

1. РЯДЫ ФУРЬЕ
Тригонометрические ряды Фурье представляют собой эффектив­ный математический аппарат, который широко применяется в прик­ладной математике для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных. Особенно широко применяются ряды Фурье при изучении колебатель­ных и периодических процессов и явлений.
1.1. Условия Дирихле. Теорема о разложимости
функции в ряд Фурье
Функциональный ряд вида


называется тригонометрическим рядом, а постоянные a₀, a₁, a₂,…,a_n,…, b₁, b₂,…,b_n,…– коэффициентами тригонометрического ряда. Если ряд сходится, то его сумма S(x) определяет периодическую функцию f(x) с периодом
Наиболее распространённым и важным для приложений примером периодических функций являются функции вида
,
называемые гармониками, так как они опи­сывают гармонические колебания с амплитудой A, частотой n и начальной фазой
Тригонометрические функции и обладают свойством ортогональности. Это означает, что на любом отрезке длиной, равной периоду , в частности на отрезке
, при
для любых n и m.
Кроме того, тригонометрические функции вида и удовлетворяют на отрезке , так называемым, условиям Дирихле. Говорят, что функция f(x) на отрезке [a, b] удовлетворяет условиям Дирихле, если она на этом интервале кусочно-моно­тонна и ограничена. Функция f(x) кусочно-монотонна на отрезке [a, b], если его можно разбить конечным числом точек x₁, x₂,…, x_n–1 на интервалы (a, x₁), (x₁, x₂),…, (x_n–1, b) так, что на каждом из них функция монотонна, то есть либо невозрастающая, либо неубывающая. Функция f(x) – кусочно-монотонная и ограничен­ная на [a, b], может иметь на отрезке [a, b] только точки разрыва первого рода, то есть такие точки разрыва, для которых существу­ют конечные предельные значения функции при приближении её к точке разрыва x = c слева и справа (см. рис.1.1):
.

Рис.1.1.