Федеральное агенство по образованию

1.4. Разложение в ряд Фурье непериодических функций
Пусть f(x) – непериодическая, кусочно-монотонная и огра­ниченная функция, заданная на конечном промежутке [–l, l]. При­соединим к графику заданной функции все его горизонтальные сме­щения на расстояния, кратные 2l (на рис.1.2 они показаны пункти­ром). Тогда получим периодическое продолжение заданной функции на всю числовую ось. Получившаяся периодическая вспомогательная функция f*(x), определённая на всей числовой оси, в соответствии с теоремой о разложимости может быть представлена в виде ряда Фурье (1.10–1.11).

Рис.1.2.
Но для всех , кроме точек разрыва , значения вспомогательной функции совпадают с заданной: f*(x) = f(x). Следовательно, сумма членов ряда Фурье для вспомогательной функции во всех точках , кроме точек разрыва, даст значения за­данной функции. Поэтому разложение непериодической функции в ряд Фурье, в действительности, осуществляется без привлечения вспомо­гательной функции непосредственно по формулам (1.10–1.11).
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию y = f(x), заданную на отрезке [-4,4]:

Решение. График функции представлен на рис.1.3.

Рис.1.3.
Как видно из рисунка, функция y = f(x) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Ряд Фурье для этой функции на промежутке примет вид
. (1.16)
Коэффициенты ряда находим по формулам (1.11) при l = 4:
. (1.17)
Так как функция f(x) имеет разные выражения на трёх участках промежутка [–4, 4], то интеграл в (1.17) разбиваем на сумму трёх интегралов:
,


.
Коэффициент b_n определяется аналогично:


.
Таким образом, ряд Фурье для заданной функции примет вид

.
Во всех точках непрерывности функции f(x) сумма ряда S(x) совпадает с еë значениями, а в точках разрыва она будет равна:
.