Fanidan tayyorlagan kurs ishi mavzu: Oddiy differensial tenglamalarni taqribiy yechishning Adams va Miln usullari Tayyorladi

2.2. Eyler usuli

Yuqorida ko`rilgan usullar taqribiy analitik usullar bo`lib, bu hollarda yechimlar analitik (formula) ko`rinishlarida olindi. Bu usullar bilan topilgan yechimning aniqlik darajasi haqida fikr yuritish birmuncha murakkab bo`ladi.
Masalan, ketma – ket differensiallash usulini qo`llaganda qatorning juda ko`p
hadlarini hisoblashga to`g’ri keladi va ko`p hollarda bu qatorning umumiy hadini aniqlab bo`lmaydi. Pikar algoritmini qo`llaganimizda esa, juda ko`p murakkab
integrallarni hisoblashga to`g’ri keladi va ko`p hollarda integral ostidagi funksiyalar elementar funksiyalar orqali ifodalanmaydi. Amaliy masalalarni yechishda yechimlarni formula ko`rinishida emas, balki jadval ko`rinishida olish
qulay bo`ladi. Differensial tenglamalarni raqamli usullar bilan yechganda yechimlar
jadval ko`rinishida olinadi.

2.3. Adams ekstrapolyatsion metodi

Faraz qilaylik, y(x) funktsiyani x_n ,x_n−1,...,x_n−k nuqtalarda qiymati ma`lum bo’lsin. x <sub>=</sub> x<sub>n</sub> + uh almashtirish bajaramiz. U holda (34) quyidagi ko’rinishga keladi [4].
ni (35) ga qo’yamiz va integrallash amalini bajarsak, quyidagi formulaga ega bo’lamiz:
Bu integraldagi u(u <sub>+</sub>1)...(u <sub>+</sub> k) ishora saqlaganligi uchun, o’rta qiymat haqidagi teoremaga asosan va y<sup>(k+2)</sup> (x) ni uzluksizligidan
Rk =h<sup>k+2</sup> c(k+1)y<sup>(k+2)</sup> (ξ)du, xn−k ≤ (ξ) ≤ xn+1
kelib chiqadi. Agar M<sub>k+2</sub> = xn<sup>max</sup>−k≤x≤xn y<sup>(k+2)</sup> (x) desak va C<sub>k</sub> > 0 ni e`tiborga olsak,

Rk = h^k+2c_k+1M _k+2 (39)
bo’ladi. Agar h > 0 yetarlicha kichik bo’lsa R_k = O(h^k+2 ) xatolikni e`tiborga olmasak, Adams ekstrapolyatsion metodining hisob formulasiga ega bo’lamiz: Agar (40) da k = 0 bo’lsa, y<sub>n+1</sub> = y<sub>n</sub> + hf (x<sub>n</sub> , y<sub>n</sub> ) - Eyler usuli hosil bo’ladi. Agar
k ≥1 bo’lganda y<sub>n</sub> , y<sub>n−1</sub>,..., y<sub>n−k</sub> larni ma`lum deb (40) dan ketma-ket
yn+1, yn+2,...
lar topiladi.
Bu metodni qiyinchiliksiz birinchi tartibli differentsial tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasiga qo’llash mumkin. Buni quyidagi masalada namoyish etamiz:
y′ = f (x, y, z), y(x₀ ) = y₀,
z′ = ϕ(x, y,z), z(x₀) = z₀,