Fanidan tayyorlagan kurs ishi mavzu: Oddiy differensial tenglamalarni taqribiy yechishning Adams va Miln usullari Tayyorladi

1.4. Ketma-ket yaqinlashish usuli (Pikar algoritmi)

Pikar algoritmi analitik usullardan bo`lib amaliy masalalarni yechishda qo`llaniladi.
Faraz qilaylik,

differensial tenglamaning o`ng tomoni to`rtburchakda uzluksiz va y bo`yicha uzluksiz xususiy hosilaga ega bo`lsin. tenglamaning da
_(1.4.2)
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin. dan

bu ifodaning ikala tomonini dan gacha integrallasak,

Bundan hisobga olinsa,
(1.4.3)
da noma`lum funksiya integral ifodasi ostida qatnashganligi tufayli u integral tenglama deb ataladi. da funksiyadagi o`rniga uning ma`lum qiymati 0 ni qo`yib birinchi yaqinlashish bo`yicha yechimni topamiz:

Endi dagi funksiyadagi o`rniga uning ma`lum qiymati
ni qo`ysak, ikkinchi yaqinlashish bo`yicha yechim ni topamiz:

Ushbu jarayonni davom ettirsak,

Shunday qilib, quyidagi funktsiyalar ketma – ketligi ni tashkil qildik:

yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo`lishi mumkin. Quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz:
Teorema. Agar nuqta atrofida funksiyaning uzluksiz va chegaralangan xususiy hosilasi mavjud bo`lsa, u holda ketma –ketlik tenglamaning yechimi bo`lgan va shartni qanoatlantiruvchi funksiyaga yaqinlashadi.
Demak, differensial tenglamalarni yechishda ushbu teoremaning shartlari bajarilsa (ya`ni yaqinlashuvchi bo`lsa), Pikar usulini qo`llash mumkin. Agar uzoqlashuvchi bo`lsa, bu usulning ma`nosi bo`lmaydi.
Misol. Ketma – ket yaqinlashish usuli bilan (Pikar usuli) differensial tenglamaning da shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimi topilsin.
Yechish. bundan da ekanligini hisobga olsak,
(1.4.4) ga asosan,
(1.4.5) ga asosan,

va ni hisoblaymiz.