Fanidan tayyorlagan kurs ishi mavzu: Oddiy differensial tenglamalarni taqribiy yechishning Adams va Miln usullari Tayyorladi

2.4. Miln usuli

Differensial tenglamani ko'rib chiqing

dastlabki holat bilan
.
h qadamini tanlab , biz o'rnatamiz . Faraz qilaylik, biz qandaydir tarzda nuqtalarda taxminiy yechim topa oldik . Keling, ushbu to'rtta qiymatdan x _n+1 nuqtasida differentsial tenglama yechimining taxminiy qiymatini topish uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz .
Differensial tenglamaning ikkala qismini x _n-3 dan x _{n+1 gacha integrallaymiz} :
.
Bu yerdan
(6.32)
f(x,y(x)) integrali uchun tugunlar oraliqda uchinchi darajali interpolyatsiya polinomini quramiz . Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasidan foydalanamiz
,
qayerda
.
(6.32) dagi f funksiyaga interpolyatsiya ko'phadini qo'yib, taxminan hosil qilamiz


= , dx=hdq;
q=0 da x=x _n-3 ; =
x=x _n+1 uchun q=4 .
(6.33)
Olingan formulani o'zgartiramiz.
Funktsiya qiymatlari bo'yicha chekli farqlarni ifodalaymiz:



Olingan sonli farqlarni (6.33) formulaga almashtirib, birinchi Milne formulasini olamiz.
. (6,34)
x _n-1 dan x _n+1 gacha bo'lgan asl differensial tenglamaning ikkala qismini integrallaymiz :

Bu yerdan
(6,35)
f(x,y(x)) subinterpolyatsiya funksiyasi uchun segmentda uchinchi darajali interpolyatsiya polinomini quramiz . Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasidan foydalanamiz
,
qayerda
.
(6.35) dagi f funksiyaga interpolyatsiya ko‘phadini qo‘yib, taxminan hosil qilamiz


= , dx=hdq;
x=x _n-1 da q=0 ; =
x=x _n+1 uchun q=2 .
(6,36)
Olingan formulani o'zgartiramiz. Funktsiya qiymatlari bo'yicha chekli farqlarni ifodalaymiz:

.
Olingan sonli farqlarni (6.36) formulaga almashtirib, ikkinchi Milne formulasini olamiz.
. (6,37)
Belgilang:
birinchi Milne formulasi bo'yicha topilgan _y qiymati ;
.
Milne usuli quyidagicha qo'llaniladi.
Birinchi Milne formulasi yordamida birinchi taxminiylikni hisoblaymiz :
.
2. Qiymat bo'yicha hisoblang
.
Ikkinchi Milne formulasi yordamida _{n + 1} uchun ikkinchi taxminiylikni topamiz :
.
Birinchi Milne formulasi "bashorat" formulasi (prognoz formulasi), ikkinchisi - "tuzatish" formulasi (to'g'rilash formulasi) sifatida xizmat qiladi. Funksiyaning dastlabki qiymati dastlab bitta formula yordamida topiladigan, so‘ngra bu qiymat boshqa formula yordamida aniqlanadigan usullar bashorat qilish va tuzatish usullarining umumiy nomi ostida birlashtiriladi.

Milne usuli, yuqoridagilardan ko'rinib turibdiki, ko'p bosqichli usuldir. Milne usulini qo'llash uchun differensial tenglama yechimining dastlabki to'rtta qiymatini topish kerak: y ₀ , y ₁ , y ₂ , y ₃ , boshlang'ich shart va ba'zi bir usul, masalan, Runge. - Kutta usuli.

Keling, Milne usulining xatosini baholaylik. Xuddi Adamsning ekstrapolyatsiya usuliga kelsak, Miln usulining bir bosqichdagi xatosi h ^{s tartibli qiymatdir} .
Amalda, Milne usulining xatosini baholash uchun biz uchinchi darajali farqlar bilan cheklandik. Keling , mos ravishda birinchi va ikkinchi Milne formulalarining xatolarini belgilaylik. Nyutonning interpolyatsiya formulasida bekor qilingan to'rtinchi tartibli farqlarni hisobga olsak, beshinchi tartibli farqlarga qadar biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

.
4h uzunlikdagi segmentda amalda o'zgarmas deb faraz qilsak, biz hosil bo'lamiz.
.
Sifatida
,
olamiz
.
Bu yerdan
. (6,38)