Ermiz davlat universiteti amaliy matematika va informatika kafedrasi

1.1-ta’rif. Bo‘shmas to‘plamning ixtiyoriy va elementlari juftligiga aniq bir manfiymas son mos qo‘yilgan bo‘lib, bu moslik quyidagi uchta:
1) ,
2) (simmetriklik aksiomasi),
3) (uchburchak aksiomasi)
shartlarni qanoatlantirsa, ga dagi masofa yoki metrika deb ataladi. juftlik metrik fazo deyiladi.
Metrika aksiomalarining bajarilishi normaning 1-3 shartlaridan bevosita kelib chiqadi. Demak, har qanday chiziqli normalangan fazoni metrik fazo sifatida qarash mumkin. Metrik fazolarda o‘rinli bo‘lgan barcha tasdiqlar (ma'lumotlar) chiziqli normalangan fazolarda ham o‘rinli.
chiziqli normalangan fazoda ketma-ketlik berilgan bo‘lsin.
3-ta'rif. Biror va ixtiyoriy uchun shunday mavjud bo‘lib, barcha larda tengsizlik bajarilsa, ketma-ketlik elementga yaqinlashadi deyiladi.
4-ta'rif. Agar ixtiyoriy son uchun shunday mavjud bo‘lib, barcha larda tengsizlik bajarilsa, - fundamental ketma-ketlik deyiladi.
5-ta'rif. Agar chiziqli normalangan fazodagi ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda to‘la normalangan fazo yoki Banax fazosi deyiladi.
Chiziqli normalangan fazolarga misollar keltiramiz.
1. - haqiqiy sonlar to‘plami. Agar ixtiyoriy soni uchun sonni mos qo‘ysak, normalangan fazoga aylanadi.
2. - kompleks sonlar to‘plami. Bu yerda ham norma yuqoridagidek kiritiladi: .
3. - - o‘lchamli haqiqiy chiziqli fazo. Bu fazoda

funksionallar norma shartlarini qanoatlantiradi. chiziqli fazoda norma kiritilgan bo‘lsa, uni , agar norma kiritilgan bo‘lsa uni deb belgilaymiz (1.3-1.5, 1.11-misollar bilan taqqoslang).
4. - - o‘lchamli kompleks chiziqli fazo (5.3-misol). Bu fazoda

funksional norma shartlarini qanoatlantiradi.
5. kesmada aniqlangan uzluksiz funksiyalar fazosi (5.4-misol). Bu fazoda elementning normasi (1.6-misol bilan taqqoslang)
,
tenglik bilan aniqlanadi. Xuddi 8.3-misoldagidek chiziqli fazoda norma

formula vositasida kiritilgan bo‘lsa, uni (1.9-misol), agar norma

tenglik orqali kiritilgan bo‘lsa uni (1.8-misolga qarang) deb belgilaymiz. Quyida biz chiziqli fazo va unda kiritilgan normalarni beramiz.
6. fazoda elementning normasi quyidagicha kiritiladi:
.
7. fazolarda elementning normasi quyidagicha kiritiladi:
.
8. - bilan kesmada aniqlangan barcha chegaralangan funksiyalar to‘plamini belgilaymiz. Bu to‘plam odatdagi funksiyalarni qo‘shish va songa ko‘paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi. Bu fazoda aniqlangan
(8.1)
funksional norma shartlarini qanoatlantiradi va chiziqli normalangan fazo bo‘ladi.
9. - bilan kesmada aniqlangan marta uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar to‘plamini belgilaymiz. to‘plam odatdagi funksiyalarni qo‘shish va songa ko‘paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi. Bu fazoda aniqlangan
(8.2)
funksional normaning 1-3 shartlarini qanoatlantiradi.
10. kesmada aniqlangan o‘zgarishi chegaralangan funksiyalar fazosi ni qaraymiz. Bu fazoda
, (8.3)
funksional norma aksiomalarini qanoatlantiradi va chiziqli normalangan fazo bo‘ladi.
Endi Banax fazolariga misollar keltiramiz.
11. fazolarni to‘lalikka tekshiring.
Yechish. To‘la metrik fazolar (3-paragraf) mavzusidan ma'lumki , , lar (3.3-3.7 misollarga qarang) to‘la metrik fazolar edi. Shuning uchun ular to‘la normalangan fazolar, ya'ni Banax fazolari bo‘ladi.
12. to‘la bo‘lmagan (3.8 misolga qarang) metrik fazo edi. Shuning uchun to‘la bo‘lmagan normalangan fazoga misol bo‘ladi.

1.