Matematika” fakulteti “amaliy matematika va informatika” kafedrasi “funksional analiz” fanidan

QORAQALPOQ DAVLAT UNIVERSITETI

“MATEMATIKA” fakulteti

“AMALIY MATEMATIKA VA INFORMATIKA” kafedrasi

“FUNKSIONAL ANALIZ” fanidan

MUSTAQIL ISHI

Mavzu: Qo’shma operatorlar

Bajaruvchi: Amaliy matematika va informatika

yo’nalishi 2^g-guruh talabasi

Allamova Moxira

Qabul qiluvchi: Eshniyazova Dilfuza

N UKUS – 2021

Reja:

1. 
   Kirish. Operatorlar haqida qisqacha ma’lumot.
   
2. 
   Asosiy qism:
   

1. 
   Operatorlarning turlari, qo’shma operatorlar.
   
2. 
   Banax fazosida qo’shma operatorlar.
   
3. 
   Banax fazosidagi qo’shma operatorlarning xossalari.
   
4. 
   Hilbert fazosidagi qo’shma operatorlar va ularning xossalari.
   

3. 
   Xulosa.
   

Biz asosan chiziqli operatorlarni qaraymiz. Chiziqli operatorlarning aniqlanish sohasi va qiymatlar to`plami chiziqli normalangan fazolarning qism fazolari bo`ladi. Shunday qilib, bizga X va Y chiziqli normalangan fazolar

berilgan bo’lsin.

29.1-ta'rif. X fazodan olingan har bir x elementga Y fazoning yagona
y elementini mos qo`yuvchi Ax = y (x ∈ X, y ∈ Y ) akslantirish operator deyiladi.
Umuman A operator X ning hamma yerida aniqlangan bo`lishi shart
emas. Bu holda Ax mavjud va Ax ∈ Y bo`lgan barcha x ∈ X lar to`plami
A operatorning aniqlanish sohasi deyiladi va D(A) bilan belgilanadi, ya'ni:

D(A) = {x ∈ X : Ax mavjud va Ax ∈ Y }

Odatda D(A) ning chiziqli ko`pxillilik (26.6-ta'rifga qarang) bo`lishi talab

qilinadi, ya'ni agar x, y ∈ D (A) bo`lsa, u holda ixtiyoriy α, β ∈ C lar uchun

α x + β y ∈ D (A) bo'ladi.

29.2-ta'rif. Agar ixtiyoriy x, y ∈ D (A) elementlar va ixtiyoriy α, β ∈ C sonlar uchun α x + β y ∈ D (A) bo`lib,

A(α x + β y) = α A x + β A y

tenglik o`rinli bo`lsa, A ga chiziqli operator deyiladi.

29.3-ta'rif. Bizga A : X → Y operator va x0 ∈ D (A) nuqta berilgan
bo`lsin. Agar y0 = Ax0 ∈ Y ning ixtiyoriy V atro uchun, x0 nuqtaning shunday U atrofi mavjud bo`lib, ixtiyoriy x ∈ U T D (A) lar uchun Ax ∈ V bo`lsa, A operator x = x0 nuqtada uzluksiz deyiladi.

29.3-ta'rifga teng kuchli quyidagi ta'riflarni keltiramiz.

29.4-ta'rif. Agar ixtiyoriy ε > 0 uchun shunday δ = δ (ε) > 0 mavjud
bo`lib, kx − x0k < δ tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x ∈ D (A) lar
uchun

kAx − Ax0k < ε

tengsizlik bajarilsa, A operator x = x0 nuqtada uzluksiz deyiladi.

29.5-ta'rif. Agar x0 nuqtaga yaqinlashuvchi ixtiyoriy {xn} ⊂ D(A) ketma-ketlik uchun

limn→∞kA xn − A x0k = 0

bo`lsa, u holda A operator x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Agar A operator ixtiyoriy x∈D(A) nuqtada uzluksiz bo`lsa, A uzluksiz operator deyiladi.

29.6-ta'rif. Ax = θ tenglikni qanoatlantiruvchi barcha x ∈ D(A) lar
to`plami A operatorning yadrosi deyiladi va u KerA bilan belgilanadi.
29.7-ta'rif. Biror x ∈ D(A) uchun y = A x bajariladigan y ∈ Y lar
to`plami A operatorning qiymatlar sohasi yoki tasviri deyiladi va u ImA yoki R(A) bilan belgilanadi.

Matematik simvollar yordamida operator yadrosi va qiymatlar sohasini quyidagicha yozish mumkin:

KerA ={ x ∈ D (A) : Ax = θ },R(A) := ImA = { y ∈ Y : biror x ∈ D (A) uchun y=Ax} .
Chiziqli operatorning qiymatlar sohasi va yadrosi chiziqli ko`pxillilik bo`ladi.
Agar D(A) = X bo`lib, A uzluksiz operator bo`lsa, u holda KerA yopiq
qism fazo bo`ladi, ya'ni KerA = [KerA] . A operator uzluksiz bo`lgan holda
ham ImA ⊂ Y yopiq qism fazo bo`lmasligi mumkin.