Matematika” fakulteti “amaliy matematika va informatika” kafedrasi “funksional analiz” fanidan


Banax fazosida qo`shma operatorlar



Download 1,99 Mb.
bet2/4
Sana31.12.2021
Hajmi1,99 Mb.
#228399
1   2   3   4
Bog'liq
2 5289807542820539844

Banax fazosida qo`shma operatorlar

X chiziqli normalangan fazoni Y chiziqli normalangan fazoga akslantiruvchi chiziqli uzluksiz A operator berilgan bo`lsin, ya'ni

A : X → Y, y = Ax ∈ Y, D(A) = X.

Bizga ixtiyoriy g : Y → C chiziqli chegaralangan funksional berilgan


bo`lsin. Bu funksionalning y = Ax elementga ta'sirini qaraymiz g(y) =
g(Ax). Osongina ko`rsatish mumkinki, g(Ax) funksional X da aniqlangan
biror chiziqli f funksionalni aniqlaydi. Shunday qilib,

g(Ax) = f(x). (33.1)

Endi (33.1) tenglik bilan aniqlangan f funksionalning chiziqli ekanligini ko`rsatamiz:



f(α1x1 + α2x2) = g(A(α1x1 + α2x2)) = g(α1Ax1 + α2Ax2)=α1g(Ax1) + α2g(Ax2) = α1f(x1) + +α2f(x2). (33.2)

(33.2) tenglik barcha x1, x2 ∈ X va ixtiyoriy α1, α2 C lar uchun o`rinli. Demak, f chiziqli funksional ekan. Endi uning chegaralangan ekanligini (uzluksizligini) ko`rsatamiz. Ixtiyoriy x ∈ X uchun



|f(x)| = |g(Ax)| ≤ k gk · k A xk ≤ k gk · k A k · k x k

tengsizlik o`rinli. Bu yerdan f funksionalning chegaralanganligi kelib chiqadi.

Agar f funksionalning x nuqtadagi qiymatini (f, x) deb belgilasak, u holda

(f, x) = (g, Ax). (33.3)

33.1-ta'rif. Bizga X, Y − chiziqli normalangan fazolar va A : X → Y
chiziqli chegaralangan operator berilgan bo`lsin. Agar biror A∗ : Y ∗ → X∗ operator va barcha x ∈ X, g ∈ Y∗ lar uchun (g, Ax) = (A∗g, x)
tenglik o`rinli bo`lsa, A∗ operator A ga qo`shma operator deyiladi.
Demak, har bir g ∈ Y∗ funksionalga (33.3) tenglik bilan aniqlanuvchi
f ∈ X∗ funksionalni mos qo`yuvchi A∗ : Y ∗ → X∗ operator A operatorga qo`shma operator deyiladi.

Qo`shma operatorlar quyidagi xossalarga ega:

1. A∗ operator chiziqli.

2. (A + B)= A∗ + B∗.

3. Ixtiyoriy k son uchun (kA)= kA∗.

4. Agar A uzluksiz bo`lsa, u holda A∗ ham uzluksiz bo`ladi.

Aniqrog`i, quyidagi tasdiq o`rinli.

33.1-teorema.

Agar A ∈ L(X, Y ) bo`lsa, u holda A∗ ∈ L(Y ∗, X∗) bo`ladi va kA∗k = kA k tenglik o`rinli.

Isbot. Funksional hamda operator normasining xossalariga ko`ra,



|(A∗g, x)| = |(g, Ax)| ≤ kgk kAx k ≤ kAk kgk k x k .

Bu yerdan



kA∗gk ≤ kA k kgk

tengsizlikka ega bo`lamiz. Demak,



kA∗k ≤ kA k (33.4)

Endi x ∈ X, Ax 6= θ shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy element bo`lsin,



y0 =AxkAx k ∈ Y deymiz. Ko`rinib turibdiki, ky0k = 1. Xan-Banax teoremasining
30.1-natijasiga ko`ra, shunday g : Y → C funksional mavjudki, kg k = 1 va

g(y0) = ky0k = 1, ya'ni g(y0) = g µkAx Axk¶ = k Ax 1 kg(Ax) = 1.

Bu yerdan,



g(Ax) = kAx k

tenglikka ega bo`lamiz. U holda



kAxk = g(Ax) = | (A∗g)(x) | ≤ kA∗gk kx k ≤ kA∗k kgk kxk = kA∗k kx k

munosabatdan



k A k ≤ kA∗ k (33.5)

tengsizlikni olamiz. (33.4) va (33.5) munosabatlardan



k A k = kA∗ k

tenglik kelib chiqadi.




Download 1,99 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish