Matematika” fakulteti “amaliy matematika va informatika” kafedrasi “funksional analiz” fanidan

Hilbert fazosida qo`shma operatorlar

Ma'lumki, Hilbert fazosiga qo`shma fazo uning o`ziga izomorf, ya'ni H =

H∗ (tenglik izomorzm ma'nosida). Shuning uchun Hilbert fazolarida qo`shma operatorlar xossalarini o`rganish ancha qulay.

33.2-ta'rif. H Hilbert fazosi va A ∈ L(H) operator berilgan bo`lsin.

Agar biror A∗ : H → H operator va ixtiyoriy x, y ∈ H lar uchun (Ax, y) = (x, A∗y)
tenglik o`rinli bo`lsa, A∗ operator A ga qo`shma operator deyiladi.
Bu ta'rif Banax fazosidagi qo`shma operatorning ta'rifidan biroz farq qiladi,
ya'ni bu yerda (kA)∗ = kA∗ (3-xossaga qarang) tenglik o`rinli.

Hilbert fazosi holida A va A∗ operatorlar aynan bitta fazoda aniqlangani

uchun, ba'zan A = A∗ tenglik ham o`rinli bo`lishi mumkin.

33.3-ta'rif. Agar A = A∗ bo`lsa, ya'ni ixtiyoriy x, y ∈ H uchun (Ax, y) = (x, Ay)

tenglik o`rinli bo`lsa, A operator o`z-o`ziga qo`shma operator deyiladi.

33.4-ta'rif. Bizga A : H → H chiziqli operator va H0 ⊂ H qism fazo

berilgan bo`lsin. Agar ixtiyoriy x ∈ H0 uchun Ax ∈ H0 bo`lsa, u holda H0
qism fazo A operatorga nisbatan invariant qism fazo deyiladi.
33.1-lemma. Bizga A : H → H chiziqli operator va H0 ⊂ H qism
fazo berilgan bo`lsin. Agar H0 qism fazo A operatorga nisbatan invariant
bo`lsa, u holda uning ortogonal to`ldiruvchisi bo`lgan H0 ⊥ ⊂ H qism fazo A∗
operatorga nisbatan invariant bo`ladi.

Isbot. Haqiqatan ham, agar y ∈ H0 ⊥ bo`lsa, u holda ixtiyoriy x ∈ H0

uchun (A∗y, x) = (y, Ax) = 0, chunki Ax ∈ H0. Demak, A∗y ∈ H0 ⊥. ∆
Xususiy holda, agar A = A∗ bo`lsa, u holda A(H0) ⊂ H0 ekanligidan
A(H0 ⊥) ⊂ H0 ⊥ ekanligi kelib chiqadi.

Hilbert fazosida qo`shma operatorlar quyidagi xossalarga ega:

33.2-lemma. Agar A, B ∈ L(H) bo`lsa, u holda

1) (αA + βB)∗ = αA∗ + βB∗,

2) (AB)∗ = B∗A∗,

3) (A∗)∗ = A tengliklar o`rinli.

Isbot. Birinchi tenglikni isbotlaymiz:

((αA + βB)x, y) = (αAx + βBx, y) = α(Ax, y) + β(Bx, y) =

= α(x, A∗y) + β(x, B∗y) = (x, αA∗y) + (x, βB∗y) = (x, (αA∗ + βB∗)y).

Bundan (αA + βB)∗ = αA∗ + βB∗ tenglik kelib chiqadi.

2) ni isbotlaymiz: ((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx, A∗y) = (x, B∗A∗y).

Bundan (AB)∗ = B∗A∗ tenglik kelib chiqadi.

3) ning isboti bevosita qo`shma operator ta'rifidan kelib chiqadi.

Endi operatorlarning Banax va Hilbert qo`shmalarini topishga doir misollar

qaraymiz.
33.1-misol. X = Y = l1 va T o`ngga siljitish operatori bo`lsin (32.1-misolga qarang), ya'ni Tx = (0, x1, x2, x3, . . . , xn−1, . . .), x ∈ l1