Vektorlar algebrasi

Vektorlar algebrasi. Nazariy fizikaning elektrodinamika kursini o’rganishda asosiy matematik apparat vektorlar va tenzorlar tahlili bilan bog’liq bo’lganligi uchun talabalar vektorlar va tenzorlar tahlili bilan tanishligininhisobga olib, bir qator asosiy formulalar va tushunchalarni qisqacha eslatib o’tamiz. Ma’lum o’lchov birligida olingan, son qiymati bilan to’la aniqlanuvchi kattalik skalyar deyiladi. Hajm, zaryad, massa, elektr maydon potensiali va shunga o’xshash kattaliklar skalyarlarga misol bo’ladi. Ma’lum o’lchov birligida olingan, son qiymati va yo’nalishiga ega bo’lgan kattalik vektor deyiladi. Vektor kattalikning boshqa ta’riflari ham mavjud. Kuch, kuch momenti, tezlik, maydon kuchlanganligi va boshqalar vektorlarga misol bo’ladi.Skalyarning matematik ta’rifi: N o’lchovli fazoda koordinata o’qlarini burishda o’z qiymatini o’zgartirmaydigan kattalikka skalyar(invariant) deyiladi. Bunda skalyar N o’lchovli fazoda aniqlangan deyiladi.Vektorning matematik ta’rifi: N o’lchovli fazoda koordinata o’qlarini burishda A_i^/ = ∑α_ikA_k formula bilan almashadigan qandaydir A_i kattaliklar to’plami vector deyiladi. α_ik –almashtirish matrisasi bo’lib, detα=1 shartni qanoatlantiradi
Tenzorlar algebrasi va analizi elementlari.Tenzorlar vector kattaliklardan murakkabroq bo’lgan matematik kattaliklar hisoblanadi. Vektorlar va skalyarlar tenzorlarning xususiy holidir. Tenzor tushunchasini kiritaylik. Komponentalari o’zaro orthogonal almashinuvchi uchta A, B, C vektorlar berilgan bo’lib, ularning komponentalari uchun orthogonal almashtirish qonunlari quyidagicha bo’lsin: A_α^´= _αβ A_μ , B_β^´= _βν B_ν , C_γ^´ = _γλ C_λ . (1)Bu formulalarning har biri uch o’lchovli vector komponentalari orasidagi orthogonal almashtirishlarni ifodalaydi. Ularning har biri (masalan, birinchisi) K sistemada berilgan uchta A₁ ,A₂ ,A₃ kattaliklar bilan K´ sistemasidagi uchta A₁´, A₂´ , A₃´ kattaliklar orasidagi o’zaro bog’lanishini ifodalaydi.Bir-biri bilan orthogonal bog’langan ikkita koordinata sistemasida berilgan va o’zaro (1) qonuniyat asosida almashinuvchi 3¹ =3 ta kattalikdan ibo-rat to’plam uch o’lchovli birinchi rang tenzor deyiladi. Uni T bilan belgilasak, (1) larning har birini T_α´ = _αμ T_μ (2) ko’rinishda yozish mumkin. A va B vektorlar komponentalarining ikkitalab olingan ko’paytmalarini yozaylik: A_α^´B_β^´ = _{α, μ β,ν} A_μ B _ν . (3)Indekslar 1, 2, 3 qiymatlar olganligi sababli A_α^´B_β^´ va A_μ B _ν ko’paytmalarning har biri to’qqizta kattalikning to’plami bo’ladi, ularni mos ravishda T _αβ va T_μυ lar bilan belgilasak, (3) bog’lanish T _αβ´= _{α, μ β,ν} T_{μυ α, μ} T_μυ (4) ko’rinishni oladi. O’zaro orthogonal bog’langan ikkita koordinata sistemasida berilgan va bir-biri bilan (4) qonuniyat asosida almashinuvchi 3² = 9 ta kattalikdan iborat to’plam uch o’lchovli ikkinchi rang tenzor deyiladi. A, B, C vektorlar komponentalarining uchtalab olingan ko’paytmalarini yozib, T _αβγ´ = A_α^´ B_β^´ C_γ^´ va T_μυλ = A_μ B_υ C_λ bel- gilashlarni kiritsak, T _αβγ´= _{α, μ β,ν γ, λ} T_μυλ (5) almashtirish formulasi kelib chiqadi.