Ermiz davlat universiteti amaliy matematika va informatika kafedrasi

4-мавзу: фазосида оптимизация масаласини ечиш алгоритми.
Режа:

1. 
   Оптимизация масаласи ва унинг қўйилиши
   
2. 
   Квадратур формуланинг хатолик функционали нормасини ҳисоблаш
   
3. 
   Экстремал функция ва хатолик функционали нормаси
   
4. 
   Оптимал квадратур формула коэффициентини ҳисоблаш алгоритми
   

Таянч иборалар: Оптимизация масаласи, квадратур формуланинг хатолик функционали, функционал нормаси, экстремал функция, Диракнинг дельта функцияси, Коши-Шварц тенгсизлиги, оптимал квадратур формула коеффициенти

1. 
   Оптимизация масаласи ва унинг қўйилиши
   

Биз қуйидаги кўринишдаги квадратур формулани қараймиз
, (4.1)
бунда тугун нуқталар, , , коеффициентлар. функциялар Соболев фазосига тегишли бўлиб, бу фазо қуйидагича аниқланади

фазонинг ва функциялари учун скаляр кўпайтма қуйидагича киритилган
. (4.2)
Шунингдек, фазода скаляр кўпайтмага мос норма қуйидагича аниқланади
. (4.3)
Интеграл ва квадратур йиғинди орасидаги қуйидаги айирма

квадратур формуланинг хатолиги дейилади, ҳамда бу айирмага
, (4.4)
кўринишдаги хатолик функционали мос келади. Бу ерда кесманинг характеристик функцияси, ҳамда Диракнинг дельта функцияси.
Коши-Шварц тенгсизлигига асосан, қуйидаги баҳога эга бўламиз

Демак, фазода квадратур формуланинг абсолют хатолиги қўшма фазодаги хатолик функционали нормаси ёрдамида юқоридан баҳоланади. Бундан қуйидаги масалага эга бўламиз.

2. 
   Квадратур формуланинг хатолик функционали нормасини ҳисоблаш
   

1-масала. квадратур формуланинг хатолик функционали нормасини ҳисоблаш.
Юқоридаги -тенгликдан кўриниб турибдики, хатолик функционали нормаси, коеффициентларга ва тугун нуқталарга боғлиқ. фазода Сард маъносида оптимал квадратур формула қуриш учун, қуйидаги масалани ечиш керак бўлади.
2-масала. фазода

тенгликни қаноатлантирувчи коеффициентларни топиш (агар мавжуд бўлса). Бунда оптимал коеффициентлар ва унга мос квадратур формула оптимал квадратур формула дейилади.
Хатолик функционали нормасини ҳисоблаш учун қуйидаги тенгликни қаноатлантирувчи экстремал функциясидан фойдаланамиз
. (4.5)
фазо гилберт фазоси бўлганлиги учун, чизиқли узлуксиз функционалнинг умумий кўриниши ҳақидаги Рисс теоремасидан фазосида қуйидаги тенгликни қаноатлантирувчи ягона функция мавжуд
(4.6)
ва

Энди юқоридаги тенгликни қаноатлантирувчи экстремал функцияни топиш билан шуғулланамиз.

3.