Ermiz davlat universiteti amaliy matematika va informatika kafedrasi

3-МАВЗУ: СОБОЛЕВНИНГ ФАЗОСИДА ОПТИМАЛ КВАДРАТУР ВА КУБАТУР ФОРМУЛАЛАР
РЕЖА:
1.Никольский ва Сард масалаларининг қўйилиши
2. Оптимал квадратур формулаларини сплайнлар методи ёрдамида қуриш.
3. Оптимал квадратур формулаларини -функциялар методи ёрдамида қуриш.
4. Оптимал квадратур формулаларини Соболев методи ёрдамида қуриш.
Таянч сўз ва иборалар: Соболев фазоси, Никольский ва Сард масаласи, фиксирланган тугун нуқта, вариацион ёндашув, оптимал квадратур формулалар, сплайнлар методи, -функциялар методи, Соболев методи. квадрати билан интегралланувчи, -тартибли умумлашган ҳосила
Маълумки, квадратур формулалар аниқ интегралларни сонли ҳисоблаш учун зарурдир. Шунинг учун квадратур формулалар дифференциал ва интеграл тенгламаларни сонли ечишда муҳим воситалардан бири бўлиб ҳисобланади. Маълум маънода оптимал бўлган квадратур формулаларни қуришнинг янги алгоритмларини ишлаб чиқиш, шунингдек, алгебраик ва вариацион ёндашувлар асосида турли синфлардаги функцияларнинг хатоларини баҳолаш ҳисоблаш математикасининг муҳим муаммоларидан биридир.
Сонли интеграция формулаларини оптималлаштиришда вариацион ёндашув - бу берилган функциялар фазосида хатолик функционали нормасининг минимумини топиш демакдир. Коэффициентлар ва тугунларга нисбатан хатолик функционали нормасининг минимумини топишдан иборат бўлган масала бу Никольский масаласи ҳисобланади. Фиксирланган тугун нуқталардаги коэффициентлар бўйича хатолик функционали нормасининг минимумини топишдан иборат масала эса Сард масаласи деб юритилади.
Николский ва Сард масалаларининг ечимлари мос равишда Николский ва Сард маъносида оптимал квадратур формула деб юритилади.
орқали оралиқда аниқланган, -тартибли ҳосиласигача узлуксиз ва -тартибли ҳосиласи Соболев фазосига тегишли бўлган функциялар синфини белгилаймиз. синф ушбу
(3.1)
скаляр кўпайтма билан Гильберт фазосини ташкил этади. Гильберт фазосида (3.1) скаляр кўпайтмага мос ярим норма қуйидагича киритилади:
, (3.2)
фазосидаги функция учун, қуйидаги кўринишдаги квадратур формулани қараймиз
, (3.3)
бу ерда ва мос равишда (3.3) формуланинг коэффициентлари ва тугун нуқталари деб аталади, функция эса Соболев фазосининг элементи.
Интеграл ва квадратур йиғинди орасидаги қуйидаги айирмага:
(3.4)
(3.3) квадратур формуланинг хатолиги дейилади. Бу ерда га тенг. Ушбу айирма хатолик функционали орқали қуйидаги кўринишда аниқланади:
. (3.5)
Бу ерда - кесманинг характеристик функцияси, эса Диракнинг дельта функцияси.
Коши-Шварц тенгсизлигидан маълумки, (3.4) хатолик функционалининг абсолют қиймати хатолик функционалининг нормаси орқали қуйидагича ифодаланади:
(3.6)
_{хатолик функционали кўриниши қуйидагича}
,
бу ерда фазоси фазога қўшма бўлган фазодир.
Сард масаласининг асосий моҳияти шундан иборатки, биринчидан фазосида оптимал квадратур формулаларни қуриш имкониятининг мавжудлиги бўлса, иккинчидан хатолик функционали нормасига унинг коэффициент ва тугун нуқталари бўйича минимум бериш масалалаларини ҳал этишдан иборатдир.
Сард масаласини ҳал қилиш учун фазосида оптимал квадратур формулани қуришда қуйидаги катталикни ҳисоблашдан иборат
(3.7)
яъни, хатолик функционалининг (3.6) нормасинг фиксирланган тугун нуқталарда коэффициентлар орқали минимумини топишдан иборат.
Бу масала икки қисмдан тузилган: биринчидан, фазода хатолик функционалининг (3.6) нормасини ҳисоблаш ва кейин тугун нуқталари учун коэффициентлари бўйича (3.6) норманинг минимумини топиш.
Сард маъносидаги оптимал квадратур формулаларни қуришнинг бир қанча методлари мавжуд бўлиб, хусусан улар сирасига сплайнлар методи, - функциялар методи ва Соболев методларини мисол сифатида келтириб ўтиш мумкин. Турли фазоларда ушбу усулларда Сард масаласи кўплаб муаллифлар томонидан ўрганилган.