Ermiz davlat universiteti amaliy matematika va informatika kafedrasi

Экстремал функция ва хатолик функционали нормаси

Ушбу бўлимда биз квадратур формуланинг фазодаги экстремал функцияси ва хатолик функционали нормасини кўринишини топамиз. Бунинг учун биз қуйидаги фазосидаги ва функциялар учун тенгламани ечиш билан шуғулланамиз. тенгламанинг ўнг томонини бўлаклаб интеграллаш орқали, қуйидагига эга бўламиз


бунда . Юқоридаги натижани нинг ўнг томонига қўйиб, қуйидаги тенгликни оламиз

Демак, учун қуйидаги дифференциал тенгламага келамиз
, (4.7)
бунда
(4.8)
чегаравий шартлар ўринли.
Энди тенгламани (4.8) чегаравий шартлар асосида ечиш билан шуғулланамиз.
1-Теорема. (4.8) чегаравий шартлар билан берилган дифференциал тенгламанинг ечими квадратур формуланинг экстремал функцияси бўлиб, у қуйидаги кўриниўга ега
. (4.9)
бу ерда функция дифференциал тенгламанинг фундаментал ечими бўлиб у қуйидагига тенг
. (4.10)
Бунда функционал фазода аниқланганлиги учун қуйидаги шартни қаноатлантиради

Бундан эса экстремал функция кўриниши қуйидагича бўлади

Малумки, бир жинсли бўлмаган дифференциал тенгламанинг ечими унга мос бир жинсли дифференциал тенгламанинг умумий ечими ва бир жинсли бўлмаган дифференциал тенгламанинг хусусий ечими йиғиндисидан иборат. Шунинг учун аввало тенгламага мос келадиган қуйидаги бир жинсли дифференциал тенгламани кўриб чиқамиз
. (4.11)
учун характеристик тенглама кўринишда бўлиб, унинг ечимлари . Шундай қилиб умумий ечим кўринишда бўлиб, бу ерда ва лар ҳақиқий сонлар. тенгламанинг хусусий ечими

Рисс теоремасига кўра хатолик функционалининг нормасининг квадрати учун қуйидаги тенглик ўринли

Юқоридаги ҳамда ва тенгликлардан фойдаланиб, қуйидаги натижани оламиз.

(4.12)
Шундай қилиб охирги тенгликдан фойдаланиб биз квадратур формуланинг хатолиги учун юқори чегарани оламиз. тенгликдан кўринадики, хатолик функционали нормасининг квадрати , коеффициентларга нисбатан кўп ўзгарувчили функция. Шу сабабли, биз ва коэффициентларга нисбатан Лагранж функциясини тузиб оламиз. Яъни,
. (4.13)
Ушбу функциянинг коеффициентлар бўйича минимумини топамиз. Бунинг учун функцияни ва коеффициентлар бўйича хусусий ҳосилаларини нолга тенглаштириб қуйидаги ва коеффициентларга нисбатан та чизиқли тенгламалар системасига эга бўламиз

(14)
Кейинги бўлимда биз юқоридаги чизиқли тенгламалар системани ечиш алгоритмини берамиз.

4.