16-мавзу. Чизиқли операторга қўшма бўлган оператор ва унинг баъзи хоссалари

16-мавзу.

Чизиқли операторга қўшма бўлган оператор ва унинг баъзи хоссалари.

Р Е Ж А
1. Евклид (унитар) фазолар.
2. Унитар фазода бичизикли форма билан чизикли оператор орасидаги боьланиш.
3. Кушма операторлар ва уларни хоссалари

Айтайлик V Евклид (унитар) фазоси булсин, яъни :

Агар V да ортонормал базис булса,
булганда
булади.
унитар фазода бичизикли форма булсин. Агар тенглик уринли булса ни эрмит бичизикли форма дейилади.
1-ТЕОРЕМА. Хар бир A L(V) чизикли операторга V унитар фазода куйидаги тенгликни каноатлантирувчи битта ва факат битта бичизикли форма мавжуд:
ИСБОТ: лар учун бичизикли формани ъамма шартларини каноатлантиради.
Бир кийматли эканлиги исботлайлик.
Айтайлик
келиб чикади.
1-ТЕОРЕМАГА. Тескари теорема ъам урнга эга.
Айтайлик V унитар фазо, бундаги бичизикли форма
ортнормал базис булсин.
Агар булса, у ҳолда ни куйидагича ёзамиз

векторни координаталарини куйидагича аниклаймиз



бу оператор матрицаси (a_ik) дан иборат. Булардан
. Демак
тенгликка эга буламиз.
2-ТЕОРЕМА. формула унитар фазода чизикли оператор ва бичизикли форма орасида узаро биркийматли мослик урнатади.
лар учун хам уринга эга
A* операторнинг матрицаси А нинг матрицасини транспонирлаш ва кушмасига утиш билан ъосил килинади.
1- Т А Ъ Р И Ф. А V унитар фазодаги чизикли операторга тенглик билан аникланган А* оператор А га кушма оператор дейилади.
3-ТЕОРЕМА. V унитар фазода ҳар бир A L(V) операторга битта ва факат битта кушма оператор мавжуд.
ИСБОТ: Хар бир A L(V) учун Юкорида эса эканлигини исботладик, булардан келиб чикади.
Кушма оператор куйидаги хоссаларга эга:



ИСБОТ:

2. A* нинг таърифдан десак
билан алмаштирсак
келиб чикади, бундан
(A*)*=C*=A.