Ermiz davlat universiteti amaliy matematika va informatika kafedrasi

Шаҳарсозлик мухандислиги тадбиғида қуйидагича масала қўйилади:
Тўртбурчак шаклдаги пластинкаларга бир хил бўлган кучланиш таъсир қилдирганда уни кучланганлик ҳолатига олиб келади. Яъни,

1. 
   Расм. Бир хил кучланишли тўртбурчакли пластинка
   

B u yerda

Aгар пластинканинг эни кесмада ўзгарадиган бўлса, натижада бу ўзгаришлар нормал кучланишни кучайтиради. Масалан, пластинкада думалоқ туйнук бўлса (2-расм) ва у бир хил кучланишига дуч келиши натижасида пластинкадаги кучланишлар ортиб боради яъни, агар пластинкадаги туйнукнинг радиус узунлигини пластинканинг кенглиги билан таққослаганда ундан анча кичик бўлса, пластинкадаги кучланишни аналитик усулда қуйидагича

да формлалар орқали топиш мумкин.

2. 
   Расм. Бирхил кучланиш остида радиуси a бўлган думалоқ тешиги бўлган тўртбурчак пластинкаси.
   

Бу аслида бундай ҳолатда юзага келадиган энг юқори нормал кучланишдир. Бундай кучланишларни аниқлаш учун, биз кучланиш концентрациясини деб аталадиган атамани аниқлаймиз, яъни

Шундай қилиб, бу ҳолда бўлади.
Тешикнинг радиуси пластинка узунлиги ва кенглиги билан таққослаганда кичик бўлмаса нима бўлади? Кўпгина ҳолларда кучланишларни аналитик равишда топиш мумкин бўлмаганлиги сабабли, биз бунга ўхшаш масалани ҳисоблаш усуллар орқали тақрибий ечишга муҳтожмиз. Ушбу усуллардан бири чекли айирмалар усулидир. Ушбу масалани ечиш учун ишлар қилишни қараб чиқамиз. Қисман дифференциал тенгламалар текисликдаги кучланиш масаласи орқали берилган бўлади.

Бу ерда

Чекли айирмалар усулини қўллаш учун тешикли тўртбурчак пластинка х ўқи бўйича ва y ўқи бўйича сегментларга бўлинади, худди 3 расмда кўрсатилгандек. Бунинг натижасида пластинкада тугунлар пайдо бўлади.

3-Расм. Тешикли тўртбурчак пластинканинг чекли айирмали тугунлари.

Энди ҳар бир тугунда, масалан, a раиусли туйнук ичидаги тугунларда умумий (i, j) тешикдаги тугун, олдинга бўлинган фарқнинг аппроксимация кўрсаткичлари қуйидагича қўлланилиши мумкин:

Ушбу чекли айирмаларни (3-6 тенгламалар) ни (1) ва (2) тенгламаларга келтириб қўйсак, қуйидагилар ҳосил бўлади:

Худди шундай, сиз тешик атрофида жойлашган ва ўралган тугунлар учун ҳам тенгламалар ёзишингиз мумкин. Бу нарса ушбу мавзу доирасидан ташқарида бўлса ҳам, аммо баҳоланишни талаб қилади. Шунингдек, ташқи тўртликда чегара шартларини қўллашни пластинка қирралари ва тешик радиусида ўтказиб юборишимиз мумкин. Бироқ, буни бир кун тушунишингиз керак барча тенгламалар аниқланган, биз жуда кўп номаълум нарсаларни оламиз ((6): x ва y ўқлари бўйлаб силжиш) кўрсатмалар, ҳар бир тугунда), чунки биз (1) ва (2) тенгламаларга яқинлашишга эгамиз, шунингдек чегара шартларига ҳам. Бу бир вақтнинг ўзида чизиқли тенгламаларни ечишга олиб келади. Кўчиришни ҳисоблаб чиққандан сўнг, пластинкадаги кучланиш ва деформацияни топиш мумкин, шунинг учун ҳам кучланиш концентрациясини топиш керак бўлади. Мисол тариқасида, битта масала тавсифи бундай ҳолати қуйидагича келтирилган.

Кучланишларни ва шу сабабли ҳосил бўлган кучланиш консентрацияси омилини топиш учун қуйидагиларни топиш керак бўлади, яъни бу силжишларнинг ҳосилаларини. 1-жадвалда бўйлаб радиусли силжишлар берилган – ўқи. Тешикнинг радиуси 1,0 см.

1. 
   да, агар кучланиш орқали берилган бўлса, см да радиусли кучланишни тўғридан-тўғри бўлинадиган фарқ усули ёрдамида топинг.
   
2. 
   Агар га тенг бўлган тангенсиал деформация сизга сифатида берилган бўлса, ҳалқа кучланишини топинг, , агар , бу ерда ва .