Элементы теории поля

Ротором векторного поля называется вектор , определяемый равенством:


. (22)

Формула (22) может быть переписана в другом виде:

. (23)

Определение ротора векторного поля с помощью оператора «набла» записывается более компактно:

.

Ротор векторного поля не зависит от выбора системы координат.

С помощью понятий циркуляции и ротора запишем формулу Стокса:

Более компактно эта формула запишется в векторной форме, а также с использованием оператора «набла»:

;

Таким образом, циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура L равна потоку ротора этого векторного поля через поверхность S , ограниченную контуром L.

Пример 9. Вычислить ротор поля скоростей твердого тела,. вращающегося с постоянной скоростью вокруг оси Оz.
Данное поле определено вектором (см. пример 4). Используя определение ротора, получаем:

Ротор данного векторного поля направлен по оси вращения, его модуль равен удвоенной угловой скорости.

Соленоидальное поле

Соленоидальным или трубчатым называется векторное поле, в каждой точке которого дивергенция поля равна нулю .
Примерами соленоидальных полей являются поле линейных скоростей вращающегося твердого тела (см. пример 4), магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический ток.
Приведем некоторые свойства соленоидальных полей.

• 
  В соленоидальном поле поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю. Это свойство вытекает из формулы Гаусса-Остроградского. Поэтому соленоидальное поле не имеет источников и стоков.
  
• 
  Соленоидальное поле является полем ротора некоторого векторного поля. Если , то существует такое поле , что . Вектор называется векторным потенциалом поля .
  
• 
  В соленоидальном поле поток вектора через поперечное сечение векторной трубки сохраняет постоянное значение.
  

Потенциальное поле