Элементы теории поля

Пример 2. Найти производную функции в точке в направлении вектора , где – точка с координатами (3,0).
Решение. Найдем единичный вектор , имеющий данное направление:

Отсюда

Вычислим частные производные функции в точке :

По формуле (5) получим

Градиент скалярного поля

Градиент (от лат. Gradiens − шагающий) − характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Например, если взять высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать направление «в гору».

Градиент является векторной функцией, а величина, которую он характеризует, − функцией скалярной.
Используется понятие градиента различных физических полей, например, градиент концентрации − нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры − увеличение или уменьшение по направлению температуры среды и т.д.
Градиентом от функции в точке называется вектор, обозначаемый и определяемый формулой:


. (6)

Так как компоненты градиента являются частными производными, нетрудно получить следующие свойства градиента, которые вытекают из свойств операции дифференцирования:

(7)


.

Связь градиента и производной по направлению.

Физический смысл градиента

Используя формулы (4), (6), представим производную функции в точке по направлению в виде скалярного произведения градиента функции на единичный вектор :

(8)





.

Производная функции по направлению равна проекции вектора градиента функции на это направление.

Так как вектор − единичный, и , используя определение скалярного произведения формулу (8), преобразуем к виду:


. (9)

Здесь − угол между векторами и .

Из последнего равенства следует, что производная функции по направлению имеет наибольшую величину при , т.е. в направлении градиента функции. Отсюда вытекает физический смысл градиента функции. Величина максимальной скорости возрастания функции в данной точке равна
модулю градиента и определяется формулой:


. (10)