Элементы теории поля

Потоком векторного поля через ориентированную поверхность S называется поверхностный интеграл 1-го рода по площади поверхности:


. (14)

Выражая скалярное произведение через координаты векторов, получаем другую форму записи:

. (15)

Используя связь поверхностных интегралов первого и второго рода, поток векторного поля можно записать в координатной форме:

. (16)

Отметим, что поток векторного поля есть величина скалярная. Его величина равна объему жидкости, которая протекает через поверхность за единицу времени. В этом состоит физический смысл потока поля.

Рис. 2

Особый интерес вызывает случай замкнутой поверхности S, ограничивающей объем V. В этом случае внешнюю нормаль к поверхности S берут за положительное направление нормали и говорят о потоке изнутри поверхности. Величина потока дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области V и втекающей в нее за единицу времени. При этом, если значение потока положительно, , то из области V вытекает больше жидкости, чем в нее втекает, т. е. внутри области имеются дополнительные источники. Если значение потока отрицательно, , то внутри области V имеются стоки, поглощающее жидкость. При в области отсутствуют источники, либо они компенсированы стоками.
Пример 6. Найти поток радиус-вектора через внешнюю сторону поверхности прямого конуса с вершиной в начале координат. Высота конуса Н , радиус основания конуса R.
Решение. В соответствии с формулой (14) найдем поток:

Поток радиус-вектора точек боковой поверхности конуса равен нулю, так как и подынтегральная функция обращается в ноль:

.

Вычислим поток поля через основание

конуса. Подынтегральная функция в этом случае есть проекция радиус-вектора на нормаль, т. е. высота конуса:

Окончательно получим:

Дивергенция векторного поля

Важной характеристикой векторного поля является дивергенция (или расходимость), характеризующая распределение и интенсивность источников и стоков поля.

Дивергенцией векторного поля в точке М называется скалярная величина:


. (17)

(Обратите внимание, насколько компактнее запись с помощью оператора набла ).

Используя понятия потока и дивергенции векторного поля, запишем известную в математическом анализе формулу Остроградского-Гаусса:


. (18)

Рассматривая трехмерную область V , ограниченную замкнутой поверхностью S, в векторном поле , можно утверждать, что левая часть формулы (18) представляет собой поток вектора через поверхность S, а правая − его дивергенцию. Поэтому формулу (18) запишем в векторном виде:

. (19)

Формула Остроградского-Гаусса означает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали равен интегралу от дивергенции поля по объему, ограниченному этой поверхностью.

Используя формулу (19) и теорему о среднем, несложно показать, что в каждой точке М выполняется равенство:


. (20)

На основании формулы (20) можно дать другое определение дивергенции, эквивалентное данному ранее.