Элементы теории поля

Производной по направлению от функции в точке по направлению называется предел


. (3)

Производная по направлению характеризует изменение поля в точке в данном направлении. Если производная положительна, то поле в заданном направлении возрастает, если производная отрицательна − поле в заданном направлении убывает.

Физический смысл производной по направлению в том, что она равна мгновенной скорости изменения поля в точке по направлению .
Полагая, что функция дифференцируема в точке , из формулы (3) и условия дифференцируемости функции получим формулу для вычисления производной по направлению:


. (4)

В случае плоского поля и формула (4) принимает вид:

. (5)

Понятие производной по направлению является обобщением понятия частных производных . Их можно рассматривать как производные от функции в направлении координатных осей. Если вектор совпадает с положительным направлением оси Ох, то в формуле (4) следует положить тогда . Аналогично получаем, что производная по направлению оси Оу совпадает с , в направлении оси Oz − cовпадает с частной производной .

Пример 1. Найти производную функции в точке в направлении вектора .
Решение. Вектор − единичный, так как , поэтому

Вычислим частные производные функции в точке .

По формуле (4) получим